I gormiti

[panurgo]

Davvero nesssuno vuole spezzare una lancia con questo quesito (relativamente facile)?

Se non lo fate voi, dovrò farlo io...

...aspetterò ancora qualche giorno

[Pasquale]

Forse una cosa non mi è chiara: 4 copie di uno stesso pezzo è il massimo ipotizzabile?
Il quesito si riferisce specificamente al caso tuo o è valido anche per chi ha un figlio unico?
Se ti riferisci al caso tuo, il fatto che se li contendono che significato ha? Se fra i due hanno tutti i pezzi di una collezione completa, si può intendere che la collezione è completa, oppure no, visto che uno li frega all'altro?

[Jumpy94]

Credo che Panurgo si riferisse al fatto di avere 4 pezzi uguali (non penso 4 coppie), e se così fosse basterebbe comprare 4n gormiti per essere sicuri di avere una collezione completa, ma detto così a primo acchito. Comunque penso che panurgo non si riferisse alla sua famiglia in particolare ma nella media.

[panurgo]

quelle non sono informazioni pertinenti ma le solite cose che metto per condire la storia.

il quesito è: se la collezione completa è formata da $n$ gormiti e gli stessi si acquistano a caso, quanti gormiti si acquisteranno IN MEDIA prima averne almeno un esemplare di ciascun tipo?

[Pasquale]

Io avevo ipotizzato che acquistando una confezione potesse venir fuori, a caso, un gormito non posseduto, o uno di cui se ne avevano già uno, o due, oppure già tre.
In questo senso avevo previsto, effettuando anche una simulazione di acquisti, la necessità di dover comperare in media 2,5n gormiti (non conoscendo la questione, ho considerato che una confezione contiene 1 gormito).
Se invece intendiamo che ogni gormito acquistato possa essere ogni volta uno qualsiasi degli n, penso che sia tutto un altro discorso.

[panurgo]

1 confezione, 1 gormita...

[Pasquale]

Se ipotizzo l'uscita di un gormito qualsiasi degli n per ogni confezione acquistata, con soltanto n confezioni avrei una probabilità favorevole di $\frac {(n-1)!}{n^{n-1}}$, ma questo non mi dice quanti gormiti devo acquistare (in teoria potrei non concludere mai, senza fare scambi).

[panurgo]

E' alquanto più semplice

[Pasquale]

Cosa avrà mai escogitato? Mmmm!!! Intanto vado a cena......Mmmm!!

[panurgo]

bon apétit!

[Admin]

Salve,
provo a postare alcuni calcoli che ho fatto, anche se la frase di panurgo "è alquanto più semplice" mi fa pensare di essere fuoristrada:

indichiamo con $n$ il numero di gormiti che formano una collezione (senza doppioni) ed enumeriamoli con $g_1,g_2,g_3,...,g_n$;
indichiamo con $x$ il numero di gormiti (bustine) acquistate;
chiaramente per $x=m$, ci è data da:

$\prod_{i=1}^{n}{g_i}$

ossia

$\prod_{i=0}^{n-1}{1-\left(\frac{n-1}{n}\right)^{x-i}}$

Questa dovrebbe essere la funzione di distribuzione cumulativa della probabilità di ottenere una collezione completa con $x$ gormiti acquistati;
ora dovremmo ricavarci la funzione di densità di probabilità e poi la media (valore atteso).

Solo che non sono convinto che i miei calcoli siano esatti, per cui mi fermo qui.

Aspetto le tue correzioni Guido!

Ciao
Admin

[panurgo]

Supponiamo di possedere già $k$ gormiti; la probabilità di trovare nel prossimo pacchetto un gormita diverso da quelli già posseduti è $p \/ = \/ \frac {n-k} n$, quella di trovarlo nel pacchetto successivo è $\left ( {1 \/ - \/ p} \right ) \/ p$ e quella di trovarlo nell’$r$-simo pacchetto è $\left ( {1 \/ - \/ p} \right )^{\script r - 1} \/ p$.

Il valore atteso sarà quindi pari a

$\left \langle {r \/ | \/ k \/ I} \right \rangle \/ = \frac {n - k} n \/ \sum \limits_{\script r = 1}^{\script \infty} {r \/ \left ( {\frac k n} \right )^ {\script r - 1}} \/ = \/ \frac {n - k} n \sum \limits_{\script r = 0}^{\script \infty} {r \/ \left( {\frac k n} \right )^ {\script r - 1}} \/ = \/ \frac {n - k} n \/ \frac 1 {\left ( {1 - \frac k n} \right)^ {\script 2}} = \frac n {n - k} \/ = \/ \frac 1 p$

Quando $k \/ = \/ 0$, $\left \langle {r \/ | \/ k=0 \/ I} \right \rangle \/ = \/ \frac n n$, per $k \/ = \/ 1$, $\left \langle {r \/ | \/ k=1 \/ I} \right \rangle \/ = \/ \frac n {n - 1}$ ecc.

Il valore atteso non condizionale a $k$ è

$\left \langle {r \/ | \/ I} \right \rangle \/ = \/ \sum \limits_{\script k = 0}^{\script n - 1} {\left \langle {r \/ | \/ k \/ I} \right \rangle } \/ = \/ \frac n n \/ + \/ \frac n {n - 1} \/ + \/ \cdots \/ + \/ \frac n 1 \/ = \/ \sum \limits_{\script k = 0}^{\script n - 1} {\frac n {n - k}} \/ = \/ n \/ \sum \limits_{\script k = 1}^{\script n} {\frac 1 k}$

cioè, $n$ volte la somma dei primi $n$ termini della serie armonica!

[Admin]

Ciao Pan,
non riesco a comprendere la tua risposta.

In pratica, se la funzione di densità di probabilità è

$(1-p)^{r-1}p$ allora se poniamo $r=n$ l'area sottesa a tale curva ci dovrebbe dare la probabilità di completare la collezione degli $n$ gormiti comprandone esattamente $n$, ossia come già detto da Pasquale $p(r=n)=\frac{(n-1)!}{n^{n-1}}$;

invece si ottiene, per $r=n$, che l'area sottesa alla curva vale:

$\sum_{i=1}^{n}{(1-p)^{n-1}p}$
$\sum_{i=1}^{n}{\left(1-\frac{n-1}{n}\right)^{n-1}\cdot\frac{n-1}{n}}$
avendo posto $k=1$.

semplificando:

$p(r=n)=1-\left(\frac{1}{n}\right)^n$

C'è qualcosa che non va?!
o sono io che sbaglio?

Ciao
Admin

[panurgo]

La distribuzione di probabilità in oggetto si riferisce al passaggio da $k$ a $k \/ + \/ 1$ gormiti diversi in $r$ passi

$p \left ( r \/ | \/ k \/ I \right ) \/ = \/ \frac {n - k} n \/ \left ( \frac k n \right )^{\script r - 1}$

Quindi, il valore di $p$ cambia ogniqualvolta si acquisisce un nuovo gormita diverso da quelli già posseduti.

In pratica, dovrò acquistare $r_{\script k}$ gormiti per ogni valore di $k$...

[Admin]

Ok Guido, ci sono quasi...

quindi il valore atteso della probabilità in oggetto, ossia $\left \langle {r \/ | \/ k \/ I} \right \rangle \/ = \frac n {n - k} \/ = \/ \frac 1 p$, ci dice in media quanti gormiti dobbiamo acquistare per incrementare la collezione di un pezzo, e questo valore varia anche a seconda del numero $k$ di gormiti che già abbiamo nella collezione;

ora il valore atteso finale che tu hai calcolato, cioè quello non dipendente da $k$, ci dice in media quanti gormiti dobbiamo acquistare per incrementare la collezione di un pezzo, indipendentemente da quandi già ne possediamo della collezione.

Ma non ci dice quanti ne dobbiamo acquistare in media per completare una intera collezione di $n$ pezzi;
forse bisogna moltiplicare tale valore per $n$?

P.S.: perchè usi sempre la lettera $I$ quando ti riferisci ad una probabilità condizionata? cosa significa? non basta ad es., solo $\left \langle {r\/|\/k } \right \rangle$

Ciao
Admin