insiemi
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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beh. Allora ho $n=m^2-3\rightarrow \(m^2-3\)\qquad\textrm{mod}\qquad 3=1$
da cui $\(m^2\)\qquad\textrm{mod}\qquad 3=1$
si verifica facilmente che $\(m^2\)\qquad\textrm{mod}\qquad 3=0\qquad\textrm{se}\qquad m=3k$ con k intero. Mi restano 2 casi
$m=3k+1\rightarrow m^2=(3k+1)^2=9k^2+6k+1$, quindi $\[\(3k+1\)^2\]\qquad\textrm{mod}\qquad 3=1$.
$m=3k+2\rightarrow m^2=(3k+2)^2=9k^2+12k+4$, quindi $\[\(3k+1\)^2\]\qquad\textrm{mod}\qquad 3=1$.
Quindi l'equazione è verificata per $\frac{m}{3}$ non intero, quindi per
$m\qquad\textrm{mod}\qquad 3\neq 0$.
da cui $\(m^2\)\qquad\textrm{mod}\qquad 3=1$
si verifica facilmente che $\(m^2\)\qquad\textrm{mod}\qquad 3=0\qquad\textrm{se}\qquad m=3k$ con k intero. Mi restano 2 casi
$m=3k+1\rightarrow m^2=(3k+1)^2=9k^2+6k+1$, quindi $\[\(3k+1\)^2\]\qquad\textrm{mod}\qquad 3=1$.
$m=3k+2\rightarrow m^2=(3k+2)^2=9k^2+12k+4$, quindi $\[\(3k+1\)^2\]\qquad\textrm{mod}\qquad 3=1$.
Quindi l'equazione è verificata per $\frac{m}{3}$ non intero, quindi per
$m\qquad\textrm{mod}\qquad 3\neq 0$.
Ciao, Info 
Sto leggendo in fretta (devo prendere l'autobus)
e temo di non averti capito...
Bisognerebbe cercare i numeri naturali che siano
al tempo stesso di tipo 4t+2, 3t e t²-3.
Hai appena fatto questo tu?
In effetti, non mi tornerebbe il passaggio finale,
che mi pare rappresenti la tua risposta, se non
sbaglio.
(Pasquale, scusami se mi sono intromesso nel tuo
topic, ma quando l'ho letto mi è venuta in mente
questa curiosa variante e l'ho scritta di getto
)
A domani!
Sto leggendo in fretta (devo prendere l'autobus)
e temo di non averti capito...
Bisognerebbe cercare i numeri naturali che siano
al tempo stesso di tipo 4t+2, 3t e t²-3.
Hai appena fatto questo tu?
In effetti, non mi tornerebbe il passaggio finale,
che mi pare rappresenti la tua risposta, se non
sbaglio.
(Pasquale, scusami se mi sono intromesso nel tuo
topic, ma quando l'ho letto mi è venuta in mente
questa curiosa variante e l'ho scritta di getto
)A domani!
Bruno
-
Pigreco
- Livello 3
- Messaggi: 91
- Iscritto il: ven mag 27, 2005 2:06 pm
- Località: Milano-Sondrio
- Contatta:
mmh, io ho fatto così, all'inizio mi sono confuso, però da quel che ho capito nell'insieme intersezione tra A e B ci stanno tutti i numeri 4n+2 in cui n è congruo a 1 modulo 3, quindi tutti i numeri che si scrivono come 12k+6
ora mi chiedo quando
m^2-3=12k+6
m^2-9=12k
cioè quando
m^2=9 (mod 12)
Con una piccola verifica (ho scartato i casi che non andavano bene)
trovo che m^2=9 (mod 12)
se e solo se
m=3 (mod 12) e m=9 (mod 12)
può andare?
Ora, ammesso che sia giusto, per rendere un po' più elegante questa dimostrazione dovrei andare a cercare un teorema che dica:
dato a=0...n-1
se x=a (mod n)
a quanto è congruo x^2?
e viceversa se
x^2=b (mod n)
a quanto è congruo x?
(ho presente il teorema di eulero e di fermat, ma devo cercare se esiste un risultato generale)
ora mi chiedo quando
m^2-3=12k+6
m^2-9=12k
cioè quando
m^2=9 (mod 12)
Con una piccola verifica (ho scartato i casi che non andavano bene)
trovo che m^2=9 (mod 12)
se e solo se
m=3 (mod 12) e m=9 (mod 12)
può andare?
Ora, ammesso che sia giusto, per rendere un po' più elegante questa dimostrazione dovrei andare a cercare un teorema che dica:
dato a=0...n-1
se x=a (mod n)
a quanto è congruo x^2?
e viceversa se
x^2=b (mod n)
a quanto è congruo x?
(ho presente il teorema di eulero e di fermat, ma devo cercare se esiste un risultato generale)
Pi greco
-
Admin
- Amministratore del sito
- Messaggi: 870
- Iscritto il: mer apr 20, 2005 3:47 pm
- Località: Benevento
Salve gente,
x Info
Nel rispondere al quesito di Bruno, tu hai continuato utilizzando l'$n$ (che è un risultato intermedio) ricavato dalla tua precedente risposta al quesito di Pasquale;
così facendo, però, tu determini i numeri comuni ai due insiemi
$I_1=\{3n+1\}\\I_2=\{p^2-3\}$
mentre Bruno chiede quelli comuni agli insiemi
$I_1=\{12k+6\}\\I_2=\{p^2-3\}$
x Bruno
Provo a rispondere,
si tratta di trovare i valori interi che soddisfano l'uguaglianza:
$p^2-3=12k+6$
($12k+6$ è il risultato di $A\cap B$)
Dunque,
$p^2-3=12k+6\quad\Rightarrow\quad p^2=12k+9=3(4k+3)$
anzitutto si nota che $p^2$ deve essere divisibile per 3, ossia:
$p^2\equiv 0 \,\pmod 3$
per cui
$p\equiv 0 \,\pmod 3$
Poniamo $p=3c$.
Sostitutendo si ha:
$9c^2=3(4k+3)\quad\Rightarrow\quad 3c^2=4k+3\quad\Rightarrow\quad 3(c^2-1)=4k$
ossia
$c^2-1\equiv 0 \,\pmod 4\quad\Rightarrow\quad c^2\equiv 1 \,\pmod 4$
il che significa che
$c\equiv 1 \,\pmod 4$ e $c\equiv 3 \,\pmod 4$
ossia $c=4t+1$ e $c=4t+3$;
in una sola espressione: $c=4t \pm 1$
e quindi $p=3c=12t\pm 3$.
Quindi tutti i numeri della forma $(12t\pm 3)^2-3$, con $t\in\mathbb{Z}$,
sono comuni ai 3 insiemi A,B e C.
Una forma migliore non sono riusito a trovarla.
SE&O
Admin
x Info
Nel rispondere al quesito di Bruno, tu hai continuato utilizzando l'$n$ (che è un risultato intermedio) ricavato dalla tua precedente risposta al quesito di Pasquale;
così facendo, però, tu determini i numeri comuni ai due insiemi
$I_1=\{3n+1\}\\I_2=\{p^2-3\}$
mentre Bruno chiede quelli comuni agli insiemi
$I_1=\{12k+6\}\\I_2=\{p^2-3\}$
x Bruno
Provo a rispondere,
si tratta di trovare i valori interi che soddisfano l'uguaglianza:
$p^2-3=12k+6$
($12k+6$ è il risultato di $A\cap B$)
Dunque,
$p^2-3=12k+6\quad\Rightarrow\quad p^2=12k+9=3(4k+3)$
anzitutto si nota che $p^2$ deve essere divisibile per 3, ossia:
$p^2\equiv 0 \,\pmod 3$
per cui
$p\equiv 0 \,\pmod 3$
Poniamo $p=3c$.
Sostitutendo si ha:
$9c^2=3(4k+3)\quad\Rightarrow\quad 3c^2=4k+3\quad\Rightarrow\quad 3(c^2-1)=4k$
ossia
$c^2-1\equiv 0 \,\pmod 4\quad\Rightarrow\quad c^2\equiv 1 \,\pmod 4$
il che significa che
$c\equiv 1 \,\pmod 4$ e $c\equiv 3 \,\pmod 4$
ossia $c=4t+1$ e $c=4t+3$;
in una sola espressione: $c=4t \pm 1$
e quindi $p=3c=12t\pm 3$.
Quindi tutti i numeri della forma $(12t\pm 3)^2-3$, con $t\in\mathbb{Z}$,
sono comuni ai 3 insiemi A,B e C.
Una forma migliore non sono riusito a trovarla.
SE&O
Admin
Pietro Vitelli (Amministratore del Forum)
"Un matematico è una macchina che converte caffè in teoremi" Paul Erdös
www.pvitelli.net
"Un matematico è una macchina che converte caffè in teoremi" Paul Erdös
www.pvitelli.net
Sono d'accordo! E ti dirò, Info, che in questa 'attività' io...una piccola distrazione capita a tutti...
sono perfino molto versatile
Riguardo ai quiz: ottimo!
Interessante anche l'approccio di Pigreco, dalla cui idea
si può ottenere la soluzione pur senza passare per
Fermat o Eulero.
Il tutto, allora, si potrebbe riscrivere così:
4[9t(t±1)+1]+2 = 3[12t(t±1)+2] = (6t±3)²-3.
Nel primo membro, fra le parentesi [], ci sono i numeri
poligonali centrati con 18 lati. Nel membro intermedio,
invece, troviamo il doppio dei numeri poligonali centrati
con 12 lati.
Ultima modifica di Br1 il gio apr 05, 2007 12:38 pm, modificato 1 volta in totale.
Bruno
Chiarisco un attimo una mia considerazione
riguardante l'idea di Pigreco, nel punto in cui
si chiede: quando m² ≡ 9 (mod 12)?
In effetti, volendo risolvere una relazione
come la seguente: x²-9 = 12y, possiamo
eliminare il 9 ponendo x = p±3. Ora, poiché
x dev'essere dispari e multiplo di 3, possiamo
allora scrivere: x = 6q±3, da cui si ricava
subito: y = 3q(q±1), corrispondente alla
variabile dei numeri 12k+6 che risolvono il
quesito originario di Pasquale.
(Salvo sviste.)
riguardante l'idea di Pigreco, nel punto in cui
si chiede: quando m² ≡ 9 (mod 12)?
In effetti, volendo risolvere una relazione
come la seguente: x²-9 = 12y, possiamo
eliminare il 9 ponendo x = p±3. Ora, poiché
x dev'essere dispari e multiplo di 3, possiamo
allora scrivere: x = 6q±3, da cui si ricava
subito: y = 3q(q±1), corrispondente alla
variabile dei numeri 12k+6 che risolvono il
quesito originario di Pasquale.
(Salvo sviste.)
Bruno
Un altro quiz (semplice) sugli insiemi
Rimanendo su alcune forme numeriche particolari, è
possibile trovare un'unica formula per tutti i numeri
naturali terminanti con 1, 4, 6 e 9?
Penso, cioè, a un'espressione che permetta di contare
in bell'ordine i numeri appena definiti, quasi fossero
pecorelle notturne
possibile trovare un'unica formula per tutti i numeri
naturali terminanti con 1, 4, 6 e 9?
Penso, cioè, a un'espressione che permetta di contare
in bell'ordine i numeri appena definiti, quasi fossero
pecorelle notturne
Bruno
Al momento non mi viene altro:
$\text per a_0=1, 4, 6, 9 e per 0 \le a_i \le 9$
$N = a_0 + \sum_{i=1}^n 10^i\cdot a_i$
ma penso che tu voglia qualcosa di simile ai problemi precedenti....cercare l'intersezione......non mi sembra facile: i numeri che terminano con 1 e 9 sono dispari e quelli che terminano con 4 e 6 sono pari...mumble, mumble....non si possono fare discorsi di divisibilità, perché nell'insieme sono compresi anche numeri primi.....mumble, mumble......quale diavoleria hai in mente?
No forse non è così, perché tu vuoi una formula che generi tutti i numeri che finiscono con 1,4,6,9 e non che produca solo numeri terminanti per 1,4,6,9, che non necessariamente sono tutti.
$\text per a_0=1, 4, 6, 9 e per 0 \le a_i \le 9$
$N = a_0 + \sum_{i=1}^n 10^i\cdot a_i$
ma penso che tu voglia qualcosa di simile ai problemi precedenti....cercare l'intersezione......non mi sembra facile: i numeri che terminano con 1 e 9 sono dispari e quelli che terminano con 4 e 6 sono pari...mumble, mumble....non si possono fare discorsi di divisibilità, perché nell'insieme sono compresi anche numeri primi.....mumble, mumble......quale diavoleria hai in mente?
No forse non è così, perché tu vuoi una formula che generi tutti i numeri che finiscono con 1,4,6,9 e non che produca solo numeri terminanti per 1,4,6,9, che non necessariamente sono tutti.
_________________
$\text { }$ciao
ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
$\text { }$ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)