insiemi

[Pigreco]

allora, ecco un po' di riflessioni, considerando che magari partendo dall'ultima formula si riesce a generarne una definita non a tratti (anche se non mi sembra così ovvio questo passo )

ho notato che questi numeri si ottengono partendo da 1 e aggiungendo prima 3, poi 2 (questo in base 10) poi ancora 3 e poi ancora 2 e così via (spero di non aver sbagliato)

Allora mi sono segnato una successione per ricorrenza:


a0=1
a1=a0+3
a2=a1+2=a0+5
a3=...=a0+8
a4=...=a0+10
e così via
a questo punto mi sono concentrato su quella seconda sequnza di numeri, ho fatto un grafico per avere un'idea e ho notato che quell'incremento diat 3 oppure di 2 c'è sempre ma è ogni volta traslato per l'effetto dei movimenti precedenti...
quindi ho notato che per gli indici dispari (2n+1) il numero è nella forma (2n+1)*3-n
mentre per gli indici pari (2m) il numero è nella forma 2m*2+m

quindi potrei formulare una prima formula così, se voglio l'm-esimo fattore di questa successione (aggiungendo a0)

5n+4 se considero m dispari=2n+1
5n+1 se considero m pari=2n

per semplificare un po' direi: m=2n+1 ==>n=(m-1)/2
m=2n ==> n=m/2

per cui

la formula a(nm) è definita così: (m è un numero naturale)
(5m+3)/2 se m è dispari
(5m+2)/2 se m è pari

giusto per controllare, ho fatto la formula per excel
=SE(RESTO(B1;2)=0;(B1*5+2)/2;(B1*5+3)/2)

ultima osservazione, la crescita di questa serie è "lineare", per cui magari si riesce a trovare una formula in cui compare la parte intera di f(m) in modo da non avere due casi...

fatemi sapere

bye

[Pigreco]

già che ci sono, se non ho sbagliato i conti, la formula generale dovrebbe essere

a(n)=[(5*n+3)/2]

dove le [] sono la parte intera dell'espressione dentro...

bye

[Br1]

BRAVISSIMO, Pigreco

Grazie anche per averci descritto il tuo
ragionamento!

La tua formula finale potrebbe essere
messa anche in questa forma equivalente
(ottenuta per altra via, che al momento
non riesco però a riassumere):

$a_{n} = 5\cdot \[\frac{n+1}{2}\]+(-1)^n$.

[Br1]

Incuriosito da queste simpatiche parti intere,
con qualche conticino mi è saltata fuori una
generalizzazione dell'equivalenza fra la forma
trovata da Pigreco è quella che ho indicato nel
mio post precedente.
In simboli, cioè, ho generalizzato la seguente
relazione:

$\[\frac{5n+3}{2}\] = 5\cdot \[\frac{n+1}{2}\]+(-1)^{\script n}.$

Sicuramente, penso, si può estendere in più
modi questa uguaglianza.


> Integrazione del 19 aprile 2007

Una generalizzazione potrebbe essere questa:

$\large \left[\frac{a\cdot n+a-2}{2}\right] = a\cdot \left[\frac {n+1}{2}\right]+\left[\frac a 2\right]\cdot \frac{1-(-1)^{\script {n+1}}}{2}-1$

da cui si ricava subito questa forma euclidea:

$\large \left[\frac{a\cdot n}{2}\right] = a\cdot \left[\frac n 2\right]+\left[\frac a 2\right]\cdot \frac{1-(-1)^{\script n}}{2}$

che ho anche utilizzato negli "Spot aritmetici".