Quelc zuglén...

[Br1]

... che dalle mie parti significa qualche giocattolo $\;$


1) Tutte le potenze naturali $\,\large m^{ \small ?}\,$ sono esprimibili come somma di $\,\large m^{\script 5}\,$ numeri
dispari consecutivi.

2) L'espressione $\,\large 2\cdot(p^{\small 6k}-q^{\small 6k})\,$ può essere messa sotto forma algebrica $A^{\small 3}+B^{\small 3}.$
Una soluzione è piuttosto immediata, ma non è difficile trovarne altre...

3) Quali sono le coppie di numeri naturali consecutivi che hanno per somma numeri
formati da cifre tutte uguali?

[delfo52]

3)
affronto il problema in senso inverso.
Dato un numero composto da una stessa cifra ripetuta 2-3-7-14-n volte, bisogna controllare che il numero (o la cifra) sia dispari. Nel caso contrario, nulla da fare.
Ogni numero dispari è esprimibile come somma di due numeri consecutivi.

Ma forse la tua domanda richiedeva un sistema per riconoscere, al volo, se una coppia di naturali consecutivi genera un monocifra (3888;3889....166;167....)

[Pasquale]

3)

La somma di due numeri consecutivi è sempre dispari e dunque potranno generare solo numeri contenti cifre 1, 3, 5, 7 o 9: per cui, dato un qualsiasi numero m contente le suddette cifre, i nostri numeri saranno $\text \frac{m-1}{2} e \frac{m+1}{2}$....e fin qui non ho detto niente di nuovo rispetto a quanto già detto da Enrico.

Viceversa, la somma m di due numeri consecutivi è un numero dispari con n cifre uguali se:

$\frac{m-1}{2} + \frac{m+1}{2} = m = 10^{n-1}a+.....+10^3a+10^2a+10a+1a = a(10^{n-1}...10^3+10^2+10+1) = a\cdot \frac{10^n-1}{9}$ , con a = 1, 3, 5, 7, 9

….e con questo ho detto che la somma di due numeri consecutivi è un numero dispari con n cifre uguali, se i due numeri sono la metà meno un mezzo e la metà più un mezzo di un numero dispari con n cifre uguali; cioè sono tornato alla soluzione inversa: boh !!

[Pasquale]

1)

Applicando la formula per il calcolo della somma dei primi n numeri dispari, che rappresentano una progressione aritmetica di ragione 2, otteniamo $n^2$; quindi la somma dei primi $m^5$ dispari è uguale ad $(m^5)^2 = m^{10}$ e viceversa.

Per l'Amministratore:
relativamente alle ultime modifiche apportate per migliorare la grafica delle formule, occorre notare che le dimensioni dei vari caratteri non sono tutte uguali, come è possibile verificare in questo stesso post.
I particolare, c'è un 2 isolato che è troppo piccolo, mentre il 2 esponente di n è troppo grande; inoltre l'1 e lo 0 del 10 esponente di m sono diversi.
Non sarà mica uno scherzo per il 1° Aprile?

[Br1]

Ok, Pasquale. Riguardo al terzo quiz, però, le coppie
cercate si possono caratterizzare facilmente, cioè
possiamo riunirle in un numero finito di gruppi (seppure
formati da infiniti elementi). E anche per quanto riguarda
il primo zuglén si potrebbe dire senz'altro qualcosa
di più...

La questione legata alle due cifre dell'esponente 10,
Pasquale, mi sembra che dipenda dal fatto che non lo
hai racchiuso fra due graffe.

Ciao!

[panurgo]

...infatti, le modifiche tipo esponenziazione, frazione ecc. si applicano solo al carattere successivo: per metterne più di uno è necessario racchiuderli tra graffe.

Io preferisco indicare la dimensione del carattere esplicitamente, per esempio m^{\script 10} $m^{\script 10}$; per le parentresi, \left ( {m^{\script 5}} \right )^{\script 2} $\left ( {m^{\script 5}} \right )^{\script 2}$

[Pasquale]

Si è vero e peraltro lo sapevo pure, ma è bastato quel tanto di inattività per buttare nel dimenticatoio gli sforzi del precedente apprendimento (quant'è brutta la vecchiaia!). Ad ogni modo grazie per i suggerimenti.
Per il resto, non mi riesce ancora di vedere altro, come per il 2), in cui vedo solo la soluzione immediata (semo in ribasso).

[Br1]

Un, due, tre... susu

[Br1]

2) L'espressione $\,\large 2\cdot(p^{\small 6k}-q^{\small 6k})\,$ può essere messa sotto forma algebrica $A^{\small 3}+B^{\small 3}.$
Una soluzione è piuttosto immediata, ma non è difficile trovarne altre...

Un metodo potrebbe essere questo.
Parto da:

A+B = h
A²-AB+B² = k

per cui hk = A³+B³.
Queste relazioni mi permettono di scrivere
A e B in funzione di h e k.
Adesso metto in evidenza alcuni fattori di
un'espressione del tipo proposto:

2·{[(pª)³]²-[(qª)³]²} = 2·[(pª)³-(qª)³]·[(pª)³+(qª)³] = ...

li suddivido in due gruppi a piacere e li chiamo
h e k.

A questo punto posso esprimere A e B rispetto
a p e q (e ad a, naturalmente) e il gioco è fatto.

Si possono ottenere per questa via infinite
scomposizioni tipo 2·{[(pª)³]²-[(qª)³]²} = A³+B³,
sino a stabilire delle identità davvero terribili...

3) (...) Ma forse la tua domanda richiedeva un sistema per riconoscere, al volo, se una coppia di naturali consecutivi genera un monocifra

Esatto. Le coppie cercate, giusto per indicare
concretamente la risposta, hanno i seguenti
elementi minori:

5, 55, 555, 5555...
16, 166, 1666, 16666, ...
27, 277, 2777, 27777, ...
38, 388, 3888, 38888, ...
49, 499, 4999, 49999, ...

[Br1]

$\log_{5}4+\log_{4}5\;$ $\;1+\frac5 4$