Fattori seni, prodotti sani.
Inviato: lun mar 26, 2007 2:25 pm
Sia $m \geq 2$ un intero. Calcolare
$\prod_{k=1}^{m-1} \sin(\frac{k \pi}{m})$
e gioire
$\prod_{k=1}^{m-1} \sin(\frac{k \pi}{m})$
e gioire
La dimostrazione,almeno quella che ho io ,richiede due casi.
1)m=2n
Detto P il prodotto in questione,risulta:
$P=\sin(\frac{\pi}{2n})\sin(\frac{2 \pi}{2n})*..*\sin(\frac{n \pi}{2n})*..*\sin(\frac{(2n-2) \pi}{2n})\sin(\frac{(2n-1) \pi}{2n})$
Il fattore centrale di P vale 1 e i fattori equidistanti da esso sono uguali
perché hanno argomenti supplementari.
Pertanto:
(1) $P=\prod_{k=1}^{n-1}\sin^2(\frac{k \pi}{2n})$
Ora e':
$x^{2n}-1=(x^2-1)\prod_{k=1}^{n-1}[x^2-(\epsilon_k^{(2n)}$$+\epsilon_c_k^{(2n)})x+\epsilon_k^{(2n)}*\epsilon_c_k^{(2n)}]$
dove le epsilon sono la radice 2n-esima di ordine k dell'unita' e la sua coniugata.
Pertanto ne viene che :
$\frac{x^{2n}-1}{x^2-1}=\prod_{k=1}^{n-1}[x^2-2x\cos(\frac{2k\pi}{2n})+1]$
Passando al limite per x->1,si ottiene:
$n=\prod_{k=1}^{n-1}2^2\sin^2(\frac{k \pi}{2n})$
Oppure:
$n=2^{2n-2}\prod_{k=1}^{n-1}\sin^2(\frac{k \pi}{2n})$
Quindi:
$\frac{n}{2^{2n-2}}=\prod_{k=1}^{n-1}\sin^2(\frac{k \pi}{2n})$
Percio' (tenendo conto della (1) ):
$P=\frac{n}{2^{2n-2}}=\frac{2n}{2^{2n-1}}$
Ma 2n=m e alla fine si ha:
$P=\frac{m}{2^{m-1}}$
Per m=2n+1 si lavora allo stesso modo ottenendo identico risultato.
karl
) questo prodotto studiando la dimostrazione della formula di duplicazione di Legendre (per la funzione Gamma). Si utilizza principalmente proprio la scomposizione del polinomio $x^n-1$ in $\mathbb{C}$.
Wow!
