meno facile

[panurgo]

Dati quattro punti in un piano, non giacenti ne su una retta ne su un circolo, quante linee rette e quanti circoli possono essere tracciati tali che siano equidistanti dai quattro punti (per distanza di un punto ${\text P}$ da un cerchio $c$ di centro ${\text O}$ si intende la distanza ${\overline {\text PQ}}$ dove il punto ${\text Q}$ è l'intersezione tra la semiretta ${\overline {\text OP}}$ e il circolo $c$).

[panurgo]

mi accorgo ora che ho tradotto il testo molto male: infatti, la distanza del punto dalla circonferenza deve essere intesa come la minore delle due distanze dal punto $\text P$ ai punti $\text Q$ e $\text Q^{\script \prime}$, intersezioni della retta $\overline {\text OP}$ e della circonferenza $c$ (di centro $\text O$).

Chiedo venia...

[franco]

Chiamo i miei 4 punti A, B, C e D.
Traccio la circonferenza, di centro O, passante per A, B e C.
La circonferenza equidistante sara quella con centro O e raggio pari alla media fra OA e OD.
Ripetendo l'operazione per le altre terne ottengo le quattro circonferenze equidistanti ai quattro punti.

Naturalmente se 3 dei quattro punti sono allineati al posto di una delle circonferenze avrò una retta equidistante ai quattro punti.

Sin qui è intuitivo; per dimostrare l'unicità passo la mano.

ciao

[panurgo]

Ecco i quattro cerchi di franco



E le rette?

[franco]

Se i punti insistono su un triangolo (A, B, C allineati e D esterno) c'è una retta equidistante parallela ad AB e posizionata a metà della distanza da D.

Se i punti formano un trapezio (AB e CD paralleli) idem.

Se i punti formano un paralelogramma (AB e CD paralleli + AD e BC paralleli) le rette equidistanti sono due, la prima parallela ad AB e a metà distanza da D, la seconda parallela a BC e a metà distanza da D.

Se infine i quattro punti formano un quadrilatero irregolare può capitare che esista una retta equidistante a tutti i quattro punti ma solo se siamo fortunati (anzi, lo escluderei proprio!)
ciao