Pedine in ordine sparso

[giobimbo]

Bravo Pasquale, che dopo una partenza confusa è riuscito ad arrivare vicinissimo al traguardo, interessante il tuo ultimo intervento. Il problema avrà un anno ma ora l'ho ripreso lavorando anch'io con pedine in posizioni simmetriche, comunque è dura, non per niente l'avevo abbandonato.
Pensavo che tu fossi troppo preso dagli impegni della vita quotidiana.

Riassumo le mie conclusioni, ovviamente non definitive:
1) le risposte, anche quella sbagliata di Franco, dicono che due numeri successivi si "inseguono" sempre in un certo modo; p.es. partendo dal 7 che sta da solo nella riga, nella sua colonna si trova un 6, nella riga del 6 si trova un altro 7, nella colonnna di questo 7 si trova un altro 6, e così via fino a giungere al 7 che sta in una colonna da solo.
2) le soluzioni corrette invece dicono che c'è una simmetria
casella senza pedina / casella con pedina
rispetto alla diagonale principale.

[Pasquale]

Si, ho preso un po' in mano il problema ieri sera e stamattina.
Alla soluzione incompleta 8x8 sono giunto per analogia, osservando bene la soluzione 6x6 sfornatami dal computer, peraltro a primo colpo, per cui riguardandola meglio, magari si potrebbe giungere alla soluzione desiderata.
Se esistono soluzioni per le scacchiere di ordine inferiore, non si capisce a prima vista perché non dovrebbe essere possibile anche per quella 8x8.
Il computer non mi ha dato soluzioni a partire dalla scacchiera 7x7, ma l'algoritmo è davvero scarso e l'esecuzione lenta, per cui non fa testo.

[jepa]

Salve, mi pareva di aver già ragionato sull'argomento, e infatti ecco quà
https://www.base5forum.it/viewtopic.php?t=418

[jepa]

Certo in questo caso il quesito è un po + complesso!

[giobimbo]

Rassicuro Pasquale sul fatto dell'esistenza di una soluzione al problema 2: ce l'ho, altrimenti l'avrei detto chiaramente, magari jepa ne trova un'altra, visto che è bravo a muovere le pedine.
Aggiungo ancora che anche la soluzione non valida di Sancho Panza rispetta la struttura a "inseguimento", difatti provai un tuffo al cuore quando vidi che la disposizione poteva espandersi a scacchiere di lato n qualsiasi, poi mi accorsi delle pedine sulla diagonale principale...
Sembra invece, dalle ultime prove fatte, che disposizioni simmetriche delle pedine portino inesorabilmente a far finire nella diagonale una delle pedine coi numeri più piccoli.

[Br1]

Interessante, Giobimbo, questo tuo problema!
Non so se avrò modo di tornarci sopra (poco
internet e poco tempo...), ma sono curioso di
sapere qual è la tua soluzione al 2° problema

[giobimbo]

Non ho problemi a mettere la soluzione, visto che considero chiuso l'argomento, anzi ne metto 2:

0...0...0...0...0...0...0...0
1...0...3...6...2...7...5...4
6...0...0...0...7...0...0...0
3...0...5...0...4...0...7...6
7...0...0...0...0...0...0...0
2...0...4...7...3...0...6...5
4...0...6...0...5...0...0...7
5...0...7...0...6...0...0...0

0...0...0...0...0...0...0...0
3...0...0...6...0...5...4...7
2...7...0...5...0...4...3...6
5...0...0...0...0...7...6...0
1...6...7...4...0...3...2...5
6...0...0...0...0...0...7...0
7...0...0...0...0...0...0...0
4...0...0...7...0...6...5...0

Senza star lì a riesumare un vecchio argomento di discussione, aggiungo qua che ho trovato una bipartizione per n=14, cosa che ritengo interessante perché n+1=15 non ha radici primitive, al contrario di 7, 9 e 11.
Al momento - stavo studiandoci sopra giusto prima di venire al Forum - tale bipartizione si può ottenere da 32 ordinamenti diversi.

[Br1]

Grazie, Giobimbo!
Però mi sembra giusto dare qualche riferimento
all'ultima parte del tuo intervento e allora (spero
che non ti dispiaccia) lo faccio io: questo è il post
sulle bipartizioni.

[Sancho Panza]

Buona Pasqua a tutti,
come avevo previsto non sono riuscito ad accedere al Forum prima di Pasqua.
Infine, oggi riesco ad accedervi di nuovo e trovo il problema già risolto.
Nessun problema, in quanto io (a differenza di Giobimbo) non considero chiuso l'argomento,
in quanto:

1) Ancora nessuno ha fornito una spiegazione del metodo usato per trovare la soluzione.
2) Ancora nessuno ha trovato una soluzione valida per il caso generale

Per quanto riguarda la ricerca di una soluzione per il caso generale di una scacchiera NxN,
ritengo di aver trovato un metodo valido (ma devo ancora verificarlo per bene, non voglio ripetere l'errore che ho fatto nel mio primo intervento)
Inoltre, ho trovato un metodo che mi permette, data una permutazione qualsiasi degli elementi compresi tra 0 e N - 1, di trovare una scacchiera che ha questa permutazione su una delle sue righe e che abbia gli elementi disposti in modo tale di risolvere il Problema 1.

Nel frattempo, inserisco qui sotto due soluzioni (valide!) che ho trovato per quanto riguarda il problema 2 (soluzioni differenti da quelle trovate da Giobimbo).

[giobimbo]

Giusto Sancho Panza, le tue soluzioni sono corrette e diverse dalle mie. Confermo anche la possibilità di associare ogni soluzione a una permutazione, ci sono diversi modi, qui ne do uno partendo dalla disposizione-base di Franco.

Si mettano delle pedine colorate con i numeri da 1 a 8 nella diagonale principale, si scambino a piacimento delle file orizzontali di pedine (comprese quelle colorate), infine si scambino le file verticali in modo da avere di nuovo le pedine colorate nelle caselle della diagonale: stavolta i numeri sulla diagonale non saranno più consecutivi ma mescolati, daranno la permutazione corrispondente a tale soluzione.
La disposizione iniziale di Franco dà luogo alla permutazione identica.

Scrivendo "argomento chiuso" mi riferivo al Forum, non certo al mio interesse per il problema 2, quindi aspetto con gran curiosità quanto hai da aggiungere. Grazie.

[Sancho Panza]

Buona Pasqua Giobimbo,
mi ha fatto piacere sapere che sei ancora interessato al problema.

Conto di soddisfare presto la tua curiosità, ma prima ho bisogno di qualche giorno di tempo per verificare bene la validità del mio metodo. Anche perché mi sono accorto che applicandolo ad una scacchiera 10x10 mi fornisce risultati con un maggior grado di simmetria rispetto alla scacchiera 8x8

Come puoi vedere negli esempi qui sotto,
sulla prima riga la somma di due elementi che distino di 5 caselle è sempre uguale a 11=(N+1)
se entrambi gli elementi sono diversi da zero
(E di conseguenza, considerando la scacchiera formata da 4 quadranti, il quadrante in alto a sinistra è speculare al quadrante in basso a destra rispetto alla diagonale principale; mentre gli altri due quadranti sono simmetrici rispetto alla loro diagonale principale)

[Br1]

Molto bello, Sancho Panza!
Il problema è senz'altro impegnativo, ma vedo che hai
degli ottimi argomenti

In effetti, colpisce la marcata simmetria che rivelano
le tue matrici. Mi sembra inoltre, lo osservo giusto di
sfuggita, che questa caratteristica:

la somma di due elementi che distino di 5 caselle è sempre uguale (...) se entrambi gli elementi sono diversi da zero

possa estendersi anche alle altre righe e alle colonne
di entrambe le tabelle.

In questo periodo non ho tempo (e forse nemmeno i
mezzi!) per ragionare sulla questione, ma son molto
curioso anch'io di leggere i tuoi sviluppi!

Ciao

[Sancho Panza]

In effetti, colpisce la marcata simmetria che rivelano
le tue matrici. Mi sembra inoltre, lo osservo giusto di
sfuggita, che questa caratteristica:

la somma di due elementi che distino di 5 caselle è sempre uguale (...) se entrambi gli elementi sono diversi da zero

possa estendersi anche alle altre righe e alle colonne
di entrambe le tabelle.

Hai ragione Bruno, quanto ho detto per la prima riga vale anche per le altre righe.
Ma non ritenevo importante farlo notare in quanto in qualsiasi soluzione valida le righe che non contengono il numero 1 sono strettamente legate alla riga che contiene il numero 1 dalla seguente regola:

Regola:
In una scacchiera NxN su tutte le righe che non contengono il numero 1,
il numero presente alla j-esima colonna della riga k-esima è uguale alla seguente somma:
(numero presente sulla j-esima colonna della riga che contiene il numero 1) +
(complemento a N della k-esima colonna della riga che contiene il numero 1)
Se la somma è maggiore di (N - 1), il numero viene sostituito da uno 0.

Vi darò la dimostrazione di questa regola appena avrò il tempo per farlo (probabilmente questa domenica), ed in tale occasione vi descriverò anche il metodo da me utilizzato.

Nel frattempo riporto una soluzione per N=12 che manifesta la stessa simmetria trovata con N=10

[Br1]

Ok, adesso mi torna: riprendo la tua regola
(tutt'altro che ovvia, peraltro, specialmente per
chi - come me - non ha studiato il problema)
precisando una cosa che mi pare importante.

Regola:
In una scacchiera NxN su tutte le righe che non contengono il numero 1,
il numero presente alla j-esima colonna della riga k-esima è uguale alla seguente somma:
(numero presente sulla j-esima colonna della riga che contiene il numero 1) +
(complemento a N del numero presente sulla k-esima colonna della riga che contiene il numero 1)
Se la somma è maggiore di (N - 1), il numero viene sostituito da uno 0.

Vi darò la dimostrazione di questa regola appena avrò il tempo per farlo (probabilmente questa domenica), ed in tale occasione vi descriverò anche il metodo da me utilizzato.

...e intanto noi trepidiamo

[Sancho Panza]

Grazie della precisazione Bruno.
Ho provato anche a verificare cosa succede per N dispari, ma per trovare una soluzione ho dovuto rinunciare alla struttura simmetrica delle soluzioni precedenti.
Vi riporto un esempio con N = 15