Quali sono i numeri interi che equivalgono
a undici volte la somma dei valori assoluti
delle loro cifre?
Fra i multipli di undici
Moderatori: Gianfranco, Bruno
Questo forum è una sezione del PORTALE DI BASE CINQUE
Fra i multipli di undici
Bruno
non mi è chiaro il concetto di "valori assoluti delle loro cifre" ma credo di poter dire: {0, 198} o meglio {0, b² + (b - 1)b + (b-2)}, dove b è la base numerica
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Concordo.
Per un numero di 3 cifre, deve essere:
100a+10b+c = 11(a+b+c)
e sviluppando:
$c = 8a + \frac {9a - b}{10}$
Il rapporto che vediamo deve essere un intero ed inoltre deve essere a<2, perché c deve essere minore di 10: quindi, se a=0, deve essere b=0 e dunque c=0 (pertanto il numero cercato è 0); se invece a=1, allora deve essere b=9 e dunque c=8 (il nostro numero in questo caso è 198).
Lavorando allo stesso modo con numeri da 2 cifre, o con numeri maggiori di 3 cifre, balza evidente che non possono esistere altri numeri con le caratteristiche richieste, non potendo esistere una cifra negativa, o non intera, o maggiore di 9.
Vedo che Pan ha generalizzato e mi piacerebbe vedere il procedimento...grazie.
Per un numero di 3 cifre, deve essere:
100a+10b+c = 11(a+b+c)
e sviluppando:
$c = 8a + \frac {9a - b}{10}$
Il rapporto che vediamo deve essere un intero ed inoltre deve essere a<2, perché c deve essere minore di 10: quindi, se a=0, deve essere b=0 e dunque c=0 (pertanto il numero cercato è 0); se invece a=1, allora deve essere b=9 e dunque c=8 (il nostro numero in questo caso è 198).
Lavorando allo stesso modo con numeri da 2 cifre, o con numeri maggiori di 3 cifre, balza evidente che non possono esistere altri numeri con le caratteristiche richieste, non potendo esistere una cifra negativa, o non intera, o maggiore di 9.
Vedo che Pan ha generalizzato e mi piacerebbe vedere il procedimento...grazie.
Ultima modifica di Pasquale il sab mar 17, 2007 1:00 am, modificato 1 volta in totale.
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$\text { }$ciao
ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
$\text { }$ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
Io ho ragionato così: i numeri in questione sono
$n \/ = \/ \ldots \/ + \/ c_{\script 3} \/ b^{\script 3} \/ + \/ c_{\script 2} \/ b^{\script 2} \/ + \/ c_{\script 1} \/ b^{\script 1} \/ + \/ c_{\script 0} \/ b^{\script 0} \/ = \/ \left ( {b \/ + \/ 1} \right) \/ \left ( {c_{\script 0} \/ + \/ c_{\script 1} \/ + \/ c_{\script 2} \/ + \/ c_{\script 3} \/ + \/ \ldots} \right )$
da cui
$\ldots \/ + \/ c_{\script 3} \/ \left ( {b^{\script 3} \/ - \/ b \/ - \/ 1} \right ) \/ + \/ c_{\script 2} \/ \left ( {b^{\script 2} \/ - \/ b \/ - \/ 1} \right ) \/ = \/ c_{\script 0} \/ b \/ + \/ c_{\script 1}$
e, dato che
$c_{\script 0} \/ b \/ + \/ c_{\script 1} \/ \in \/ \left \{ {0, 1, \ldots, b^{\script 2} \/ - \/ 1} \right }$
ciò significa che
$\ldots \/ + \/ c_{\script 3} \/ \left ( {b^{\script 3} \/ - \/ b \/ - \/ 1} \right ) \/ + \/ c_{\script 2} \/ \left ( {b^{\script 2} \/ - \/ b \/ - \/ 1} \right ) \/ \/ 2} \right .$
Ne consegue che
$c_{\script 0} \/ b \/ + \/ c_{\script 1} \/ = \/ b^{\script 2} \/ - \/ b \/ - \/ 1 = \left ({b - 2} \right ) \/ b \/ + \/ \left ({b - 1} \right )$
e quindi
$\left { {c_{\script 0} \/ = \/ b - 2 \\ c_{\script 1} \/ = \/ b - 1} \right .$
$n \/ = \/ \ldots \/ + \/ c_{\script 3} \/ b^{\script 3} \/ + \/ c_{\script 2} \/ b^{\script 2} \/ + \/ c_{\script 1} \/ b^{\script 1} \/ + \/ c_{\script 0} \/ b^{\script 0} \/ = \/ \left ( {b \/ + \/ 1} \right) \/ \left ( {c_{\script 0} \/ + \/ c_{\script 1} \/ + \/ c_{\script 2} \/ + \/ c_{\script 3} \/ + \/ \ldots} \right )$
da cui
$\ldots \/ + \/ c_{\script 3} \/ \left ( {b^{\script 3} \/ - \/ b \/ - \/ 1} \right ) \/ + \/ c_{\script 2} \/ \left ( {b^{\script 2} \/ - \/ b \/ - \/ 1} \right ) \/ = \/ c_{\script 0} \/ b \/ + \/ c_{\script 1}$
e, dato che
$c_{\script 0} \/ b \/ + \/ c_{\script 1} \/ \in \/ \left \{ {0, 1, \ldots, b^{\script 2} \/ - \/ 1} \right }$
ciò significa che
$\ldots \/ + \/ c_{\script 3} \/ \left ( {b^{\script 3} \/ - \/ b \/ - \/ 1} \right ) \/ + \/ c_{\script 2} \/ \left ( {b^{\script 2} \/ - \/ b \/ - \/ 1} \right ) \/ \/ 2} \right .$
Ne consegue che
$c_{\script 0} \/ b \/ + \/ c_{\script 1} \/ = \/ b^{\script 2} \/ - \/ b \/ - \/ 1 = \left ({b - 2} \right ) \/ b \/ + \/ \left ({b - 1} \right )$
e quindi
$\left { {c_{\script 0} \/ = \/ b - 2 \\ c_{\script 1} \/ = \/ b - 1} \right .$
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Proprio così 
Risposte chiarissime!
Per quanto riguarda la faccenda dei valori
assoluti, Guido, il testo è come l'ho letto.
A riguardarlo, però, penso che quel punto
faccia riferimento al criterio di divisibilità
per 11 che, come sappiamo, utilizza invece
la somma delle cifre con i segni più e meno
alternati.
Risposte chiarissime!
Per quanto riguarda la faccenda dei valori
assoluti, Guido, il testo è come l'ho letto.
A riguardarlo, però, penso che quel punto
faccia riferimento al criterio di divisibilità
per 11 che, come sappiamo, utilizza invece
la somma delle cifre con i segni più e meno
alternati.
Bruno