Trirazionali

[Br1]

Da risolvere in razionali:

$\frac{1}{x+2}+\frac{1}{y+2}=\frac{1}{z+2}+\frac 1 2$


A.p.P.e.N.d.I.c.E

Qual è il massimo comun divisore di tutti
i numeri con questa forma ad esponente
naturale:

$1065^{\small n}-45^{\small n}+9^{\small n}-213^{\small n}\;$

[Sancho Panza]

$1065^n-213^n-45^n+9^n$


$(5^n-1)*(213^n-9^n)$

$(5-1)*(213-9)*P(n)$

$M.C.D. = (5-1)*(213-9)=4*204=816$

M.C.D. = 816

[franco]

$(5^n-1)*(213^n-9^n)$

$(5-1)*(213-9)*P(n)$

Sancho,

Mi sfugge questo passaggio (più che altro credo mi manchi qualche concetto base!)
Mi dai qualche lume?

Bruno,

Mi puoi esplicitare meglio in cosa consiste la prima domanda?
Così ad occhio direi che basta sia:
x=0 y=z oppure y=0 x=z
ma presumibilmente chiedi qualcos'altro.

ciao

[Br1]

Ciao, Franco!

Interpreto un attimo il passaggio di
Sancho (ma so bene che Sancho non
ha bisogno d'interpreti!).

Allora, abbiamo:

$\small 5^{\script n}-1 = (5-1)(5^{\script n-1}+5^{\script n-2}+... +1)\,$

e anche:

$\small 213^{\script n}-9^{\script n} = (213-9)(213^{\script n-1}+213^{\script n-2}\cdot 9+... +9^{\script n-1}).$

Per n=1, queste espressioni diventano
la differenza delle basi. Per n > 1, invece,
esse rappresentano dei multipli di quella
differenza (ricadremmo in questa seconda
ipotesi anche per n=0, volendo includere
lo zero fra i naturali).
Al massimo, quindi, i numeri con la forma
indicata sono divisibili per 816=(5-1)(213-9).


Per quanto riguarda il quiz principale,
chiedevo solo un modo di esprimere le
incognite affinché fossero razionali.
Poco arrosto, dunque
Però si possono trovare metodi tutt'altro
che banali o inutili per 'formulare' queste
variabili.

[Sancho Panza]

$z = 4*\frac{{x + y + xy}}{{4 - xy}}$

[franco]

$\small 213^{\script n}-9^{\script n} = (213-9)(213^{\script n-1}+213^{\script n-2}\cdot 9+... +9^{\script n-1}).$

Sembrerebbe quindi una generalizzazione della formula dei prodotti notevoli.

Buono a sapersi; anche oggi ho imparato qualcosa di nuovo!

[Br1]

Per Franco

Quando sopra scrivevo che Sancho non
ha bisogno d'interpreti, naturalmente,
non intendevo certo dire che la tua domanda
non fosse necessaria! Volevo solo chiarire
che Sancho sa spiegarsi benissimo da sé
e il mio intervento sarebbe potuto essere
meno efficace del suo...

E sui prodotti notevoli, se vuoi, puoi vedere
anche qui


Per Sancho

Forse sarebbe meglio precisare qualcosa
sulla scelta delle variabili.

[franco]

Tranquillo Bruno, l'avevo inteso esattamente in quel senso.

Del resto:

le sole domande stupide sono quelle che non vengono fatte

o anche

non ci sono domande stupide ma solo risposte stupide

ed infine

il fondamento del progresso è la curiosità

ciao ciao

[Br1]

Da risolvere in razionali:

$\frac{1}{x+2}+\frac{1}{y+2}=\frac{1}{z+2}+\frac 1 2$

Un altro modo per trattare la questione
può esser questo.

Chiarisco subito che le variabili non devono
essere uguali a -2.

Quindi scrivo:

$\frac{x+2}{z+2} = p \\ \frac{y+2}{z+2} = q$

con p e q non nulli.

Sostituendo e semplificando, trovo subito:

$x = 2\cdot \frac{p(1-q)}{q} \\ y = 2\cdot \frac{q(1-p)}{p} \\ z = 2\cdot \frac{p+q-2pq}{pq} \cdot$

Con questo pocedimento le tre incognite
vengono messe sullo stesso piano ed è
più facile (secondo me) apprezzarne il
'ruolo'.

Prendendo $\small p\neq 1$, dovrà essere $\small q \neq \frac{p}{p-1}$,
perché altrimenti i denominatori della
relazione data si annullerebbero.
Prendendo invece $\small p = 1$, i due membri
dell'uguaglianza assumono la stessa
forma.

(Seo)