BASE CINQUE FORUM

Il grande algebrista arabo Tamref scrisse a margine di un trattato di Al Kuwarizmi: "ho trovato la dimostrazione dell'impossibilità di trovare tre numeri a, b e c tali che $n^a + n^b = n^c$ per $n > 2$ ma è troppo lunga per stare nel margine della pagina".

E' Fermat al contrario (suggerimento di un amico)...

Ciao by Info

...anche il teorema è al "contrario"...

(Ripescato da pag. 33....ovvero da poco più di 11 anni fa)

Affinché possa essere:

$n^a + n^b = n^c$

dovrebbe essere:

$n^a + n^b - n^c = 0$

$n^a[1+ n^{b-a}- n^{c-a}] = 0$

$n^a[1+n^{b-a}(1-n^{c-b})] = 0$

ma considerate le premesse:

$n^a \ne 0$ e quindi al massimo dovrebbe essere:

$n^{b-a}(1-n^{c-b}) = -1$

cioè:

$n^{b-a} - n^{c-a} = -1$

o meglio:

$n^{c-a} - n^{b-a} = 1$

il che è impossibile, considerate le premesse, anche se fosse n=2, perché in tal caso dovrebbero essere: c-a = 1 e b-a = 0

Cosa ne pensate?

Grazie per il ripescaggio, Pasquale.
Dall'ultimo passaggio della tua dimostrazione si ricava che c'è una soluzione per n=2, infatti:
con: a=1, b=1, c=0 (corretto: a=0, b=0, c=1)
si ha: $2^1-2^0=2^0$
Per il resto, tutto OK.
Per un momento ho creduto di avere una dimostrazione più breve della tua ma non è stato così.

Scusa Gianfranco, per ultimo passaggio intendi $\text n^{c-a} - n^{b-a} = 1 ?$

Se è così, dai valori attribuiti ad a,b,c (1,1,0), c-a = -1 e b-a = 0

Forse meglio a=1, b=1, c=2, oppure c=3, b=2, a=2, ecc. (mi ci è voluto un bel po' per arrivarci, perché ero convinto che dovesse essere a<>b<>c, non so perché). Quindi l'errore resta...ho esagerato e dunque lasciamo n>2, così come richiesto.
Volendo, la dimostrazione può essere accorciata, tagliando qualche passaggio intermedio, che tuttavia rende la lettura più agevole.