un curioso condominio

[Pigreco]

Rivisitazione di un gioco matematico che ho letto giusto oggi (Matematica Senza Frontiere) con qualche mia aggiunta

Dalle mie parti hanno costruito un nuovo condominio, gli appartamenti sono numerati a partire da quello che sta più in alto, sotto di questo (per garantire la solidità della struttura) ce ne sono 3, mentre quello centrale è sotto il primo, gli altri due sono a fianco e non hanno sopra nessuno...
Insomma, è un triangolone!!
Questa è la disposizione degli appartamenti

Codice: Seleziona tutto

         1
       2 3 4
     5 6 7 8 9
  .................

Vi dico la verità, è un po' instabile quando c'è vento, però non mi dispiacerebbe abitarci, oltretutto ha veramente un sacco di piani (non li ho ancora contati e non sono mai entrato, per cui non li so... però sono molti, davvero...)

1) Un mio amico abita al piano 2007, ieri mi ha telefonato chiedendomi una mano: quello che abita sopra di lui fa un baccano enorme!!! però non sa a che appartamento telefonare per lamentarsi!!! (non ha voglia di uscire di casa) quale numero deve comporre??

2) Dovete sapere che i costruttori di questo condominio si sono riservati delle stanze particolari: quelle contrassegnate, ovviamente, da un numero triangolare!!
Ogni venerdì sera, tutti i costruttori che abitano sullo stesso piano si ritrovano...
Da quale appartamento in avanti un costruttore si ritrova da solo? (se questo appartamento esiste)


Mi sembra che il problema si presti ad essere manipolato con la fantasia... se avete qualche osservazione interessante, qualche altra domanda o così scrivete!!

bye

[jepa]

Iniziamo col n° dell'appartamento.
Si vede facilmente che proseguendo verso sinistra a partire da un qualunque appartamento, l'appartamento che gli sta sopra dista un numero di appartamenti pari a quelli del proprio piano meno 1, il gradino esterno a destra della piramide!
Percui, dato che il numero di appartamenti di ogni piano n si può ottenere con la formula:
2n-1
si ha che al piano 2007 gli appartamenti saranno 4013, quindi se chiamiamo x il numero del generico appartamento al piano 2007, il corrispondente del piano superiore sarà pari a x - 4012.
Saluti a tutti!!

[jepa]

Hem mi sa che ho risposto un po di impulso, i piani si numerano dal basso e quindi non si sa in partenza il n° degli appartamenti corrispondenti a quel piano, chiedo venia, ci penso ancora un pò!

[jepa]

Mmmm, si!
Se consideriamo che l'ultimo numero a destra di ogni piano è un quadrato la cui radice da il numero di quel piano a partire dalla testa del palazzo, basta che dato il n° dell'appartamento in mio possesso, io cerchi il quadrato immediatamente inferiore a tale numero. Facendone la radice quadrata ottengo il n° del piano che mi sta sopra a partire dall'alto, allora posso fare il ragionamento sopra esposto!
Saluti!

[Pigreco]

gli appartamenti, almeno in questo caso, (e fortunatamente) si numerano dall'alto...

io per risolverlo ho usato un ragionamento molto simile a quello dell'ultimo post di Jepa

...sarebbe interessante trovare qualche quesito supponendo che i piani vengano contati dal basso e che, quindi, non si sappiano

[jepa]

Beh con l'ultima considerazione (3° post), anche partendo dal basso riesco sempre a conoscere il piano che sta sopra di me a partire dall'alto e di conseguenza l'appartamento!
Anzi so pure quanti sono in totale i piani del palazzo!!

[jepa]

Non ho ben capito il secondo quesito, se consideriamo i primi numeri triangolari 1,3,6,10,15,21, partendo dall'alto già dal primo piano il costruttore si ritrova da solo!
Ho forse male interpretato il quesito?

[franco]

Sul secondo quesito è un po' difficile dare una risposta in termini di "da quale appartamento in avanti".
C'è un solo costruttore al piano ultimo, penultimo e terzultimo. Poi ce ne sono 2 al quartultimo 1 al quintultimo e ancora a scendere 2, 1, 1, 2, ...

[Pigreco]

per quanto riguarda il primo quesito: visto che gli appartamenti sono numerati a partire dal primo, se fossero numerati a partire dalla base non puoi sapere chi sta sopra il 2007... immagina per esempio che la base sia proprio di 2007 quadretti... sopra il 2007 non c'è nulla... eccetera...

per quanto riguarda il secondo la mia domanda era: esiste un numero di appartamento (o un piano) tale che sono sicuro che ogni piano sotto di esso non ha mai più di un numero triangolare?

(poi da questo quesito può scaturire un'osservazione sulla distribuzione dei numeri triangolari in questo "condominio"... che mi è sembrata particolare...)

[jepa]

Si ma ci siamo fraintesi, io non parlavo del numero dell'appartamento ma di quello del piano. Per esempio l'appartamento n° 1 potrebbe essere al millesimo piano se i piani partono dal basso! Da li le mie considerazioni!

[jepa]

Oh e cmq se sul 2007 non ci fosse nessuno, allora il tuo amico avrebbe le allucinazioni acustiche!!

[Bruno]

...

Sono di corsa

Vediamo un attimo:

Se consideriamo che l'ultimo numero a destra di ogni piano è un quadrato la cui radice da il numero di quel piano a partire dalla testa del palazzo, basta che dato il n° dell'appartamento in mio possesso, io cerchi il quadrato immediatamente inferiore a tale numero. Facendone la radice quadrata ottengo il n° del piano che mi sta sopra a partire dall'alto, allora posso fare il ragionamento sopra esposto!...

Be', se conosco il numero d'interno del mio
appartamento e il relativo piano, naturalmente,
posso evitare di calcolare dei quadrati. Seguendo
la tua traccia, Jepa, in effetti basta sottrarre al
mio numero d'interno il doppio del numero del
piano superiore.

Devo dire, però, che mi sono un po' perso fra i
vostri scambi di ieri sera, pertanto potrei aver
scritto qualche inutilità...

Per quanto riguarda il secondo quesito, tenendo
conto di una significativa e giustificata caratteristica
di questo triangolinio (tutti i quadrati distribuiti
sul lato destro), mi viene in mente una famosa
proprietà dei numeri triangolari: esistono infiniti numeri triangolari che sono al tempo stesso dei quadrati.
Accettato questo, possiamo allora pensarla così.
Se gli appartamenti sull'estrema destra del palazzo
sono identificati da un numero triangolare (e quindi
pure quadrato), su quello stesso piano si trova
un altro appartamento identificato anch'esso da
un numero triangolare (quello che precede).
Infatti, poniamo x²=½y(y+1). Il numero triangolare
che vien prima di ½y(y+1) è x²-y. Il fatto che x²-y
sia non minore del numero (x-1)²+1 (corrispondente
all'appartamento che si trova all'estrema sinistra
del piano x) comporta che x>½y e questo, senz'altro,
è sempre vero: basta riguardare la relazione
x²=½y(y+1). Si vede subito che non può essere
x=½y oppure x<½y, per cui resta confermata
la terza possibilità.
Se il palazzo si estendesse all'infinito, dunque, ci
sarebbero, sicuramente, infiniti piani dove i costruttori
(ben per loro) farebbero festa ogni venerdì sera.

Penso che potremmo anche applicare questo tipo
di ragionamento ai numeri triangolari che precedono
di 1 un quadrato. E poi si potrebbero considerare
altri numeri poligonali, magari perché ritenuti
interessanti dai consiglieri condominiali...

Il tutto, come sempre, salvo sviste.



Bruno

[ghisirds]

Ciao a tutti,
ci sono strani condomini ovunque!
Per non parlare dei problemi di insonorizzazione!
Ecco a voi un paio di edifici creati in maniera diciamo 'strana':
https://milanosguardinediti.com/archite ... -a-milano/
Saluti a tutti.

__________________
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[Quelo]

Per sapere qual è l'appartmanento (s) sopra il suo, il nostro amico deve conoscere il numero del proprio appartamento (a), ma a questo punto non interessa il piano (p), che può essere ricavato di conseguenza
Il numero di appartamenti (n) sul piano di (a) è:

$\displaystyle n={\lceil \sqrt{a} \rceil}^2-{\lfloor \sqrt{a} \rfloor}^2$

$\displaystyle s=a-n+1$

$\displaystyle p=\frac{n+1}{2}$

Diversamente, se conosciamo solo il piano

$\displaystyle (p-2)^2<s \le (p-1)^2$