due quesiti interessanti

[Pigreco]

Sono entrambi questiti appartenuti a gare di giochi matematici...

1) i triangoli bisosceli
un triangolo bisoscele è un triangolo iscoscele in cui la bisettrice di uno dei suoi angoli lo divide in due triangoli entrambi isosceli.

Quanto triangoli bisosceli esistono? hanno delle particolari proprietà?

2) numeri primi pluriunitari
un numero primo si dice pluriunitario se è formato da solo cifre 1

se il numero 111....111 formato da n cifre 1 è primo posso dire che anche n è primo?


bye

[panurgo]

E' un triangolo aureo!

[delfo52]

di primo impulso mi viene da dire che tutti i triangoli rettangoli sono divisibili in due isosceli.
se deve essere isoscele anche il triangolo di partenza, prendo il triangolo rettangolo con i cateti uguali

[delfo52]

con 2 , 19, 23 e 317 funziona
non so se sono stati scoperti repunits primi più grandi....

[panurgo]

E' un triangolo aureo!

[panurgo]

con 2 , 19, 23 e 317 funziona
non so se sono stati scoperti repunits primi più grandi....

Martin Gardner ne parla...

[panurgo]

di primo impulso mi viene da dire che tutti i triangoli rettangoli sono divisibili in due isosceli.
se deve essere isoscele anche il triangolo di partenza, prendo il triangolo rettangolo con i cateti uguali

...quindi, sono due (finora): (45°, 45°, 90°) e (72°, 72°, 36°)...

[franco]

E credo che due resteranno,

gli angoli devono essere nel rapporto

x : x : 2x

oppure

2x : 2x : x

e poichè la somma è sempre di 180° le soluzioni si limitano alle due indicate.

ciao

[Pigreco]

buona quella dei triangoli... anche io sono arrivato alla stessa risposta... è interessante il fatto che un triangolo sia semplice e si possa costruire con le squadre, mentre l'altro, pur essendo un triangolo interessantissimo non ha angoli così ovvi...

questo dei triangoli era un quesito di matematica senza frontiere...

quello dei numeri primi pluriunitari necessita di una dimostrazione... è delle olimpiadi della matematica e devo dire che, pur avendoci pensato per un po', non ho idea di come si possa dimostrare accetto aiuto molto volentieri

[panurgo]

E credo che due resteranno [...]

ne avevo il sentore

[mathmum]

Ciao Pi, ti scrivo due considerazioni sul problema dei numeri pluriunitari.
Io avevo pensato di dimostrarlo per assurdo, quindi parto dicendo che n (il numero degli uni) non è primo.
Se n non è primo allora ammette una fattorizzazione unica in numeri primi , quindi supponiamo che n=hk.
A questo punto ho fatto qualche prova:
sia n=6=2x3 allora ho il numero 111111
dandogli un'occhiata vedi che pui dividerlo in blocchi di lunghezza 2 o di lunghezza 3, cioè 11 11 11 (divisibile per 11, quindi non primo) o 111 111 (divisibile per 111 quindi non primo.
Ripetendo l'"esperimento" vedi che se scegli n non primo, quindi fattorizzabile nel prodotto hk con h e k primi, puoi sempre "raggruppare" le cifre del numero pluriunitario in blocchi di lunghezza h o k, e quindi mostrare che il numero pluriunitario non è primo, negando l'ipotesi che è quello che volevo per validare la dimostrazione per assurdo.
Come dimostrazione fa abbastanza schifo a livello formale, ho solo cercato di spiegare... ciao

[Pigreco]

Lemma: se un numero è composto da n blocchi di q cifre uguali allora è divisibile per il numero formato da quel blocco di cifre

infatti, chiamando questo numero a e chiamando il blocco b
$a=b+b*10^{q}+b*10^{2q}+b*10^{3q}...$ (questo per n volte)

in altri simboli (per imparare a scriverli)

$a=\sum_{k=0}^{n-1}b*10^{kq}$

questo applicando la proprietà distributiva in N...
allora posso raccogliere un b, perchè questo compare in tutti i termini della somma e ottengo che b|a


Teorema: se un numero primo pluriunitario ha n cifre, allora n è primo...
infatti, se n non fosse primo n=h*k, e quindi il numero può essere suddiviso in blocchi di h o k cifre 1, con k,k < n (perchè n in questo caso non è primo)
quindi per il teorema precedente questo numero sarebbe divisibile per il numero formato da k (o h) volte la cifra 1, e quindi non sarebbe primo...

funziona secondo voi?


Altra domanda.. che consegue da questa...
beh, numeri primi composti dalla sola cifra 0 non ce ne sono, cifra 1 ne abbiamo parlato, a parte il due non possono essere formati dalla ripetizione di cifre pari (ovviamente)
non posso ripetere la cifra 3 (perchè altrimenti i numeri sarebbero divisibili per 3) e similmente per la cifra 9...
la cifra 5 non la posso ripetere

mi rimane il 7...
esistono numeri primi formati dalla sola cifra 7 (a parte il 7 stesso)?

[Gianfranco]

Pigreco ha scritto:

esistono numeri primi formati dalla sola cifra 7 (a parte il 7 stesso)?

No: per il tuo lemma sono tutti divisibili per 7 e come quoziente si ha un repunit.

Gianfranco

[Pasquale]

Simpatico e complimenti a Mathmum per la semplicità dell'iter dimostrativo (non per niente è una Math).

Vediamo se ho capito:

è stato detto e dimostrato che se n (quantità di cifre del repunit) non è primo, il "REPUNIT" non può essere primo, il che è giusto e convincente.

Dunque, ad un REPUNIT primo deve corrispondere un n primo, in quanto se così non fosse, allora il REPUNIT non potrebbe essere primo.

Curiosità:

da quanto sopra possiamo dire che se il REPUNIT non è primo, non è primo neanche n?
Mi pare di no (es: 111 non è primo ed è formato da 3 cifre, con n primo).

(Ciao Gianfrà, vedo che ci sei)

[mathmum]

Grazie Pasquale, troppo gentile!
Per fortuna che ci pensa Pi a formalizzare!
(ma che brutto 'sto nome REPUNIT, sembra il nome di un Gormita!)
e qui mi capiranno solo i genitori di settenni...
ciao