Algebrucando

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

Bruno
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Messaggio da Bruno »

mathmum ha scritto:Uppa, Uppa,
ma qui di tempo non ce n'è!!!
(è ora di pagelle hehehehehe) :twisted:
Immagine


\;\, \cdot \\ \;\, \cdot \\ \;\, \cdot


\; :roll:




Per Franco: grandioso!

Molto bravo :D


Appena trovo due minuti, scrivo come ho
trattato questa indeterminata, seguendo
un metodo inusuale ma generale, quindi
applicabile a un numero diverso di incognite,
che trovai molto molto tempo fa...

Appena ho due minuti. Anzi: dopo la
consegna delle pagelle... e se la mia sarà
buona :lol:





Bruno
(Bruno)

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l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
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franco
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Messaggio da franco »

Attendo la tua spiegazione ma nel frattempo mi faceva piacere anche spiegare in quale astrusa maniera sono arrivato alla soluzione.

Intanto era subito evidente che la somma x+y+z doveva essere un numero pari (i coefficienti sono tutti dispari ed il risultato dell’espressione è pari), quindi ho trovato per tentativi (è molto semplice, e giuro che non ho fatto alcun software per trovarle) un certo numero di soluzioni con x+y+z=2k=0.
Osservando queste soluzioni si notava subito che al crescere di z:
x cresce a gradini di 6 unità
y decresce a gradini di 7 unità
Andando poi ad imporre valori diversi di k ed osservando le soluzioni si nota che al crescere di k:
x decresce a gradini di 17 unità
y cresce a gradini di 15 unità
A questo punto la soluzione era disponibile (diciamo che sin qui è passata un’oretta).

Restava però il problema di trovare un procedimento per arrivare a giustificarla in maniera un poco più elegante rispetto al metodo “a tentoni”.
Vi risparmio la risma di carta, ma alla fine sono riuscito a partorire il topolino.

P.S. Naturalmente l’aver suddiviso il coefficiente 29 in (17*7)-(15*6) e il 100 in (17*50)-(15*50) è una scelta assolutamente arbitraria ma è facilmente dimostrabile che alla fine non cambia nulla (salvo il fatto che k a quel punto è un semplice parametro intero e non rappresenta più la semisomma delle incognite)
Franco

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noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician

Bruno
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Messaggio da Bruno »

Grazie, Franco!

(Bruno)
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Bruno
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Terzo quiz

Messaggio da Bruno »

...

Come promesso, vi propongo di seguito un
approccio risolutivo in cui mi sono imbattuto
parecchi anni fa e di cui solitamente non
si parla, per quanto a mio avviso sia
piuttosto intuitivo e non certo avaro di
soddisfazioni :wink:

Forse ne ho già accennato in questo forum
(qualche centinaio di post fa...), ma ora non
ricordo dove.

Penso di essere la persona meno qualificata,
fra tutti voi, a parlare di metodi e teoremi,
dal momento che non sono neppure laureato
in discipline scientifiche.
Nel tempo, però, ho letto (e studiato) molte
cose sulla matematica - anzi: le matematiche -
e credo che questo non sia stato del tutto
inutile. Se non altro, adesso mi aiuta un pochino
(giusto un pochino) a non sentirmi completamente
inadeguato o fuori posto fra tanti bravi ed
esperti basecinquini!

Allora comincio... :D
Ultima modifica di Bruno il mer feb 14, 2007 10:10 am, modificato 1 volta in totale.
(Bruno)

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Bruno
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Messaggio da Bruno »

...

Prendiamo un'equazione di questo tipo:

13x+21y = 67.

Sappiamo che si può trattare in vari modi:
per esempio, mediante l'algoritmo euclideo
o con i metodi di Eulero, Hermite, Lagrange
etc, oppure ricorrendo alle frazioni continue.
Diversi e ottimi testi divulgativi se ne sono
occupati (*).

A me viene da ragionare in questo modo.
Poiché 67 è dispari, proprio come 13 e 21,
bisogna che una delle incognite sia dispari
e l'altra sia pari. Ma non posso decidere
quale, fra x e y, sia dispari e quale, invece,
sia pari. Tuttavia, posso senz'altro dire questo:
esistono certamente due interi p e q, e sono
unici, tali che: x = p+q e y = p-q-1.
Sostituendo, trovo:

34p-8q = 88

ossia:

17p-4q = 44.

Qui vedo subito che dev'essere:

p = 4r

e quindi:

17r-q = 11

cioè:

q = 17r-11,

che porta a: x = 21r-11 e y = -13r+10.
Con le sostituzioni del tipo visto sopra,
si trovano pertanto delle nuove relazioni
caratterizzate da coefficienti più piccoli,
più maneggevoli e semplificabili.

Il metodo è generale, anche se una
sostituzione non vale l'altra. Se avessi
considerato, per esempio, x = p-q e
y = p+q+1 (e avrei potuto certamente
farlo), avrei trovato lo stesso la soluzione,
questo sì, però non altrettanto rapidamente.

Con un pizzico di osservazione sui termini
noti, si può abbreviare il cammino (ma penso
che si possa tentare un'ottimizzazione del
procedimento, in generale, stabilendo qualche
regola nella scelta delle sostituzioni più
convenienti).

In maniera simile, potrei affrontare questa
indeterminata:

13x+21y = 68,

osservando che x e y devono essere al
tempo stesso pari o dispari, quindi sapendo
che esistono (e sono unici) due interi p e q tali
che x = p+q e y = p-q.

Poiché il metodo è generale, posso adottarlo
anche in presenza di più di due incognite.

Per esempio, appunto, prendendo la
relazione del quiz proposto:

15x+17y+29z=100.

Osservo, già alla prima occhiata, che le
variabili potrebbero essere tutte pari oppure
che una soltanto di esse potrebbe esserlo.

Per x, y e z, quindi, esistono senz'altro
tre numeri interi p, q ed r mediante i quali
posso esprimere le precedenti incognite;
ossia, tali che:

x = p+q
y = p+r
z = -q-r


Infatti, le relazioni:

2p = x+y+z
2q = x-y-z
2r = y-x-z


sono sempre ammissibili quando x, y e z
siano tutte pari o una sola di esse sia
pari, come dicevo sopra.

Questo fatto mi permette di intervenire
sui coefficienti delle incognite, in modo da
ottenerne degli altri che siano semplificabili,
fino al punto di renderli unitari.

Dalla relazione iniziale, allora, posso via via
ricavare le seguenti:

15(p+q)+17(p+r)-29(q+r) = 100
32p-14q-12r = 100
16p-7q-6r = 50


e qui, ponendo ovviamente q = 2s:

8p-7s-3r = 25.

In maniera altrettanto evidente, r ed s non
possono essere contemporaneamente pari
o dispari, per cui (per lo stesso principio
descritto sopra) esistono unicamente due
interi u e v, per esempio, tali che:

r = u+v+1
s = u-v
.

Dopo due veloci passaggi sono costretto a
porre u = 2t e quindi trovo, successivamente:

v = 8+5t-2p
r = 8+7t-2p
s = 2p-3t-7
q = 4p-6t-14


e infine:

x = 5p-6t-14
y = 8+7t-p
z = 6-2p-t
.


(Se&o)


Dunque, quando non possiamo stabilire
se un'incognita sia pari o dispari (caso più
semplice e immediato), possiamo sempre
metterla in relazione con le altre incognite
rispetto alla stessa o diversa 'parità', in base
alle caratteristiche dei termini noti. Per far
questo, allora, vengono introdotte delle
nuove incognite che permettono di modificare
(e ridurre) i coefficienti e quindi di agevolare
la risoluzione.

Ecco, volevo solo parlarvi di questo metodo
perché mi sembra che abbia diversi aspetti
interessanti, pur essendo pochissimo conosciuto.
In realtà, non mi è ancora capitato di leggerne
qualcosa da quando l'ho 'scoperto'... ma non
dubito che qualcosa ne sia stato scritto :wink:



Bruno




--------
(*)

F. Enriques (a cura di) "Questioni riguardanti le matematiche elementari", Zanichelli, Bologna
R. Courant, H. Robbins "Che cos'è la Matematica?", Bollati Boringhieri, Torino
C. D. Olds "Frazioni continue", Zanichelli, Bologna
H. Davenport "Aritmetica superiore - un'introduzione alla teoria dei numeri", Zanichelli, Bologna
M. Fontana Dispense, Roma

L'argomento ha stimolato l'interesse e le ricerche di vari studiosi e appassionati nel corso
tempo, ma non si può ancora dire che sia stato detto tutto. A me è capitato di leggere
una grande quantità di procedimenti risolutivi, alcuni molti belli.
Vi propongo questo articolo 'antico' del Prof. Giacomo Cardoso-Laynes, dai cui scritti ho
spesso imparato molto:
> Supplemento al Periodico di Matematica, Dicembre 1906, Anno X, Fasc. II,
"Su la risoluzione in numeri interi dell'equazione lineare a due incognite":
- pag. 1
- pag. 2
- pag. 3
- pag. 4
- pag. 5.
(Bruno)

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