Ciao!
Diciamo che a è il numero di equazioni e b il numero di incognite. E suppongo che i coefficienti stiano in un fissato campo, per semplicità diciamo $\mathbb{R}$.
Mi aiuterei con l'algebra lineare e le matrici. Dato un certo sistema possiamo scrivere la matrice incompleta del sistema (chiamiamola A(i)), per definizione quella che ha come righe i coefficienti delle varie equazioni che moltiplicano le incognite, e poi la matrice completa (chiamiamola A(c)) che è ottenuta dalla matrice incompleta aggiungendo a destra la colonna dei termini noti (se tale colonna è nulla il sistema si dice omogeneo). Ora, indico con rk(i) il rango della matrice A(i) e con rk(c) il rango della matrice A(c).
Se rk(i) e rk(c) sono diversi allora non ci sono soluzioni.
Se invece rk(i)=rk(c) ci possono essere una o infinite soluzioni. Ce n'è esattamente una se e solo se rk(i)=b, e ce ne sono infinite se e solo se rk(i) è diverso da b (quindi poiché rk(i) <= a, è chiaro che se a<b ci sono infinite soluzioni, essendo rk(i) <= a < b e quindi rk(i) diverso da b).
Per dimostrare tutto quello che ho detto servono però nozioni di algebra lineare.
Un esempio è il sistema di una equazione e due incognite x+y=0. In tal caso a=1, b=2 e rk(i)=rk(c)=1 essendo A(i)=(1 1) e A(c)=(1 1 0). Quindi rk(i) e b sono diversi, e il sistema ha infinite soluzioni, precisamente tutte e sole le coppie (k,-k) al variare di k.
Un altro esempio: se abbiamo le tre equazioni x+2y=3, y=1, 2x+3y=5, possiamo scrivere $A(i)=\left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 2 & 3 \end{array} \right)$, $A(c)=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 5 \end{array} \right)$. In questo caso esistono soluzioni essendo rk(i)=2=rk(c), e ce n'è esattamente una essendo b=2. La soluzione è (1,1).
Un altro esempio: se abbiamo le tre equazioni x+5y=4, 3x-y=2, 2x+5y=0, allora non ci sono soluzioni essendo $A(c)=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 5 & 4 \\ 3 & -1 & 2 \\ 2 & 5 & 0 \end{array} \right)$ una matrice invertibile, e quindi di rango 3, certamente maggiore del rango di A(i) che è una matrice con 3 righe e 2 colonne.
Per quanto riguarda l'altro quesito, utilizzerei il teorema di Carnot (o teorema dei coseni), ma forse è uno strumento troppo cattivo
Spero di non aver scritto cavolate
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"Oh! But I have been blind- blind. Complex, I have said?
Complicated? Mais non. Of a simplicity extreme - extreme.
And miserable one that I am, I saw nothing - nothing."
(Peril At End House)
