Aquilone...

Il forum di Base5, dove è possibile postare problemi, quiz, indovinelli, rompicapo, enigmi e quant'altro riguardi la matematica ricreativa e oltre.

Moderatori: Gianfranco, Bruno

peppe
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Aquilone...

Messaggio da peppe »

...mi ritorni in mente
bello come sei...
Il topic che IlGiuista ha Inviato: Ven Dic 29, 2006 4:22 pm,avente per oggetto: alcune definizioni
e teoremi
,mi ha fatto ritornare in mente...l'aquilone. Un'annosa,per
me, questione irrisolta,che torno a ri-riproporre,sperando di non annoiare
i vecchi amici.
Lo faccio perché,la straordinaria potenzialità del forum,che consente
l'insetrimento di figure disegni e quant'altro,e la presenza di nuovi
abilissimi basecinquini,forse potranno fornirmi quella soluzione che
vado cercando da troppo tempo.Riassumo la questione:
[...]
Date Posted: 18:50:26 02/12/03 Wed
Author: Peppe
Subject: Aquilone-bis:volerà?...

Chiedo scusa se a distanza di circa un anno ritorno col mio maledetto
AQUILONE,che a suo tempo è stato discusso in questo stesso Forum ma con
risultati,che non hanno chiarito i miei dubbi.
E cioè, sapere se il testo del quesito è completo,oppure mancano ulteriori
dati per trovare la soluzione.
Lo faccio perché nel frattempo nel Forum sono subentrati altri amici che
dimostano di sapere il fatto il loro,e lo dico col massimo del rispetto e
della stima che nutro nei confronti dei bravissimi amici ,che all'epoca mi
hanno fatto la cortesia di rispondermi.
Insomma sono curioso di vedere se ci sono punti di vista nuovi e
diversi dai primi.Ecco il quesito:

"Qual è la superficie MINIMA espressa in cm, di un AQUILONE
con le seguenti caratteristiche.La base dell’aquilone è un QUADRILATERO
INSCRITTO in una circonferenza. I lati del quadrilatero sono espressi da
NUMERI INTERI in cm e sono tutti DIVERSI fra loro. Per motivi aerodinamici
vengono fissate alla base 4 LUNETTE, ciascuna delle quali ha come diametro
il lato del quadrilatero al quale è attaccato."

[...]
Le pagine del vecchio forum non sono più visualizzabili. Perciò trascrivo
la sintesi fatta dall'indimenticabile paolop dopo una lunga discussione
alla quale partecipò attivamente anche Pasquale:
[...]
Però forse ho capito dove stanno i dubbi.
Quando parlavi di “lunette”, ho banalmente pensato a dei semicerchi.Se invece
si tratta delle lunule di Ippocrate, allora hanno ragione quelli che sostengono
l’ incompletezza dei dati

[...]
A roma direbbero "aridaglie!... co' st'aquilone...".
E siccome l'aquilone,si presta a facile rima...vi lascio immaginare
il resto del "romanesco sfogo".
Ultima modifica di peppe il mer gen 03, 2007 10:13 am, modificato 3 volte in totale.
Peppe

IlGuista
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Messaggio da IlGuista »

evvai...anche io servo a qualcosa! :)
La Lingua Pura...

Bruno
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Chiarimento

Messaggio da Bruno »

Peppe ha scritto:(...) sapere se il testo del quesito è completo, oppure
mancano ulteriori dati per trovare la soluzione.
Carissimo Peppe, faccio giusto una capatina.
Non so se si tratti dello stesso problema o quale
fosse la vecchia discussione di cui parli, ma
qualcosa del genere è stato proposto anche fra
i giochi della Bocconi. C'è però una differenza,
tutt'altro che trascurabile: nel testo del problema
(quello che conosco io) vien precisato che l'area
del quadrilatero equivale all'area totale delle lunette.
Inoltre, l'area di ogni lunetta è la differenza fra l'area
del semicerchio costruito su un lato e quella del
segmento circolare limitato dallo stesso lato e da un
arco della circonferenza circoscritta al quadrilatero.
Insomma, per capirci meglio, ti ho buttato giù uno scarabocchio fatto a mano.
Non le lunule di Ippocrate, quindi, ma solo lunette.
Per il resto, il testo coincide con il tuo.
Mi sembrava senz'altro importante chiarire questo
aspetto.
La questione è interessante e, se troverò un po'
di tempo, provo a scriverti qualche mia idea - per
quanto non sappia se potrei mai soddisfare la tua
richiesta su quei benedetti "punti di vista nuovi e
diversi dai primi", visto che ignoro i primi e poi anche
i secondi e i terzi...
A presto!


Bruno
Ultima modifica di Bruno il mer gen 03, 2007 4:55 pm, modificato 1 volta in totale.
(Bruno)

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peppe
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Messaggio da peppe »

Bruno,questa frase
...vengono fissate alla base 4 LUNETTE...
deve essere interpretata.
Il quesito infatti,è stato proposto ad un mio amico tramite e-mail.
Quindi non conosco né il risultato né ulteriori dettagli.

Io penso che la forma dell'aquilone dovrebbe essere identica a quella da te proposta.
Ossia le parti tratteggiate sono le lunette attaccate al quadrilatero,e
tutto l'insime forma l'aquilone.Ma torno a ripetere è una mia personale interpretazione.

Immagine

E qualora così fosse(*),riuscirebbe a librarsi in aria questo strano aquilone?

Per il momento,per non influenzare il tuo pensiero,non scrivo nulla
sulle discussioni precedenti.
qualcosa del genere è stato proposto anche fra
i giochi della Bocconi
Ti ricordi l'anno?Puoi postare il link relativo al quesito da te indicato? Grazie
--
(*)
Il dubbio è legittimo,dal momento che nel quesito si legge:
[...]ciascuna delle quali ha come diametro il lato del quadrilatero al quale è attaccato[...]
Ultima modifica di peppe il mer gen 03, 2007 8:00 pm, modificato 1 volta in totale.
Peppe

Bruno
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Messaggio da Bruno »

...

Sono venuto in un internet point per stampare
alcune cose e ho aperto il forum perché immaginavo
che mi avessi risposto.
Ecco qui, Peppe: http://matematica.uni-bocconi.it/gare/batteria2.htm.
In effetti, vien più facile pensare che ci sia un'imprecisione
nel testo trasmesso al (o dal) tuo amico.
(Mammamia, a rivedere il mio schizzo ho fatto un
sobbalzo :mrgreen:)
Ciao, Peppe, e buona serata!

Bruno
(Bruno)

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Messaggio da peppe »

Ho provato ma la risposta è stata questa:

Impossibile trovare la pagina
La pagina cercata è stata rimossa, il nome della pagina
è stato modificato o non è disponibile al momento.
Peppe

Ivana
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Messaggio da Ivana »

Ecco, Peppe, l'indirizzo web dato da Bruno, a cui ho tolto il punto finale:

http://matematica.uni-bocconi.it/gare/batteria2.htm
Immagine
"L'essenza della matematica è la libertà" (Georg Cantor)

peppe
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Messaggio da peppe »

Grazie Ivana...sei preziosa!
Praticamente si tratta dello stesso quesito!
Infatti,ecco le due versioni:
Boccononi:
10 L’AQUILONE DALLE 4 LUNETTE (***)
La base del nostro aquilone è un quadrilatero inscritto in una
circonferenza. I lati del quadrilatero sono misurati da un numero
intero, espresso in centimetri, e sono tutti diversi. Per
motivi aerodinamici, vengono fissate alla base quattro lunette,
ciascuna delle quali ha come diametro il lato del quadrilatero al
quale è attaccata. La somma delle aree delle quattro lunette
(in grigio) è uguale a quella del quadrilatero.
Dare la misura minima di questa area, espressa in cm².

Risposta: 18 cmq.
+++++++++++++++++
E-mail
"Qual è la superficie minima espressa in cm, di un aquilone con le
seguenti caratteristiche.La base dell’aquilone è un quadrilatero inscritto
in una circonferenza. I lati del quadrilatero sono espressi da numeri interi
in cm e sono tutti diversi fra loro. Per motivi aerodinamici vengono fissate
alla base 4 lunette, ciascuna delle quali ha come diametro il lato del
quadrilatero
al quale è attaccato."
+++
Considerato che il quesito l'ho riproposto il 02.12.03(*), a distanza
di un anno dalla prima volta e che l'E-mail (che ora non riesco a trovare)
l'avevo già da un bel po' di tempo,sarei curioso di sapere da dove
l'anonimo frequentatore del sito "matematica online",a suo tempo
ha trovato il quesito
--
(*)
[...]
Date Posted: 18:50:26 02/12/03 Wed
Author: Peppe
Subject: Aquilone-bis:volerà?...
Ora abbiamo la risposta, 18 cmq,e un dato in più quello che mancava:
La somma delle aree delle quattro lunette
(in grigio) è uguale a quella del quadrilatero.


Manca solo il procedimeto,che ne sono certo ,non tarderà...vero Bruno?

Beh...che volete che vi dica...la testardaggine,non sempre è una bruutta cosa.
Ci sono voluti 5 anni,ma alla fine,questa testa di mulo, l'ha spuntata! :lol: :lol:
Ultima modifica di peppe il mer gen 03, 2007 8:14 pm, modificato 3 volte in totale.
Peppe

panurgo
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Messaggio da panurgo »

1. L'informazione in più consente di porre in relazione il raggio del cerchio con i lati del poligono

${\text L} \equiv {\text area delle lunule} \\ {\text C} \equiv {\text area del cerchio} \\ {\text S}_{\script i} \equiv {\text area dei semicerchi} \\ {\text Q} \equiv {\text area del quadrilatero} \\ {\text L} = {\text S}_{\script 1} + {\text S}_{\script 2} + {\text S}_{\script 3} + {\text S}_{\script 4} - \left ( {{\text C} - {\text Q}} \right ) \\ {\text L} = {\text Q} \qquad \Longrightarrow \qquad {\text S}_{\script 1} + {\text S}_{\script 2} + {\text S}_{\script 3} + {\text S}_{\script 4} = {\text C}$

2. il poligono è formato da quattro triangoli isosceli
3. quello che bisogna dimostrare è che avere le aree delle lunule uguali alle aree dei triangoli implichi la condizione che i triangoli siano isosceli e rettangoli
4. posto che l'area della lunula e quella del triangolo siano uguali se e solo se il triangolo è rettangolo isoscele almeno due angoli del quadrilatero sono retti: non possono essere più di due perchè i lati sono tutti diversi e devono perciò essere due angoli opposti e valgono le relazioni

$a \neq b \neq c \neq d \in N \\ {\text Q} = \frac {ab+cd} 2 \\ a^{\script 2} + b^{\script 2} = c^{\script 2} + d^{\script 2}$

con un po' di tentativi ed errori si trova

$a = 8, \; b = 1, \; c = 7, \; d= 4$

Il punto 1 vale anche quando i triangoli non sono rettangoli e si possono scrivere interessanti relazioni sia algebriche sia trigonometriche: ultima strada, la geometria analitica. (purtroppo non ho tempo neppure di dimostrare il punto 3) :cry:
il panurgo

Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"

Gianfranco
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Messaggio da Gianfranco »

Sono giunto agli stessi risultati di Panurgo, ma con un ragionamento che mi sembra leggermente diverso (e talvolta brute force). Eccolo.

Chiamo (come Panurgo)
L = area totale lunule
C = area del cerchio
S = area totale dei semicerchi
Q = area del quadrilatero
r = raggio del cerchio
a, b, c, d = lati quadrilatero
Osservando la figura, ricavo:
L = S-(C-Q)

Ma il problema mi dà come dato aggiuntivo: Q=L
Perciò ricavo:
S = C

Con qualche calcolo:
$S = (pi/8)*(a^2+b^2+c^2+d^2)$
$C = pi*r^2$

Ma, poiché S = C, si ricava:
$a^2+b^2+c^2+d^2 = 2(2r)^2$

Poiché la somma dei quadrati delle 4 corde (lati del quadrilatero) è uguale al doppio del quadrato del diametro, cioè il massimo valore possibile, deduco che:

a) una delle diagonali del quadrilatero è il diametro del cerchio
b) i lati del quadrilatero formano due triangoli rettangoli di cui il diametro è l'ipotenusa (vedi figura)

Supponiamo (senza perdita di generalità) che i cateti dei due triangoli siano rispettivamente a, b e c, d.
Allora l'area del quadrilatero è:
$Q = (ab+cd)/2$
e
$a^2+b^2 = c^2+d^2$

Il problema si riduce quindi a trovare 4 numeri interi positivi diversi che soddisfino le seguenti condizioni:

$a^2+b^2 = c^2+d^2$
e
$ab+cd = minimo$
Ora ho esaminato i casi possibili, prendendo a,b,c,d "piccoli", <10 e ho trovato solo due possibilità
1, 8, 4, 7, Area = 18

2, 9, 6, 7, Area = 30

Il minimo corrisponde all'area di 18

Ora bisogna dimostrare che
ab+cd = 36 è veramente il minimo.

Osservo che $1^2+8^2 = 4^2+7^2 = 65$

Mi chiedo: esiste un numero intero minore di 65 che sia esprimibile come somma di due quadrati di interi in almeno 2 modi diversi con numeri tutti diversi?
Anche in questo caso ho esaminato tutti i casi possibili e 65 risulta essere il numero più piccolo per cui è verificata la condizione.

$a - b - c - d - a^2+b^2 = c^2+d^2$
1 - 1 - 1 - 1 - 2
1 - 2 - 1 - 2 - 5
2 - 2 - 2 - 2 - 8
1 - 3 - 1 - 3 - 10
2 - 3 - 2 - 3 - 13
1 - 4 - 1 - 4 - 17
3 - 3 - 3 - 3 - 18
2 - 4 - 2 - 4 - 20
3 - 4 - 3 - 4 - 25
1 - 5 - 1 - 5 - 26
2 - 5 - 2 - 5 - 29
4 - 4 - 4 - 4 - 32
3 - 5 - 3 - 5 - 34
1 - 6 - 1 - 6 - 37
2 - 6 - 2 - 6 - 40
4 - 5 - 4 - 5 - 41
3 - 6 - 3 - 6 - 45
1 - 7 - 1 - 7 - 50
1 - 7 - 5 - 5 - 50
5 - 5 - 5 - 5 - 50
4 - 6 - 4 - 6 - 52
2 - 7 - 2 - 7 - 53
3 - 7 - 3 - 7 - 58
5 - 6 - 5 - 6 - 61
1 - 8 - 1 - 8 - 65
1 - 8 - 4 - 7 - 65

Gianfranco
Allegati
Aquilone
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peppe
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Messaggio da peppe »

10 L’AQUILONE DALLE 4 LUNETTE (***)
Beh...le tre stellette (***),sono più che meritate!

Qualcosa mi dice che questo quesito finirà nella raccolta di Base5...ma potrei sbagliarmi. :lol: :lol: :lol:

In ogni caso un grosso grazie a panurgo e a Gianfranco per aver risolto il quesito,a Bruno
per averlo scovato e a Ivana per la segnalazione.
Spero tanto che paolp,si trovi a passare da queste
parti,per poter leggere le scuse, che in questo momento gli faccio,
per averlo a suo tempo fatto scervallare,con un quesito incompleto.
Ultima modifica di peppe il gio gen 04, 2007 1:10 pm, modificato 3 volte in totale.
Peppe

Bruno
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Messaggio da Bruno »

...

Chiarissimo, Gianfranco :D
Anzi, mi sento di ringraziarti per aver postato
il tuo percorso e aver così reso veramente
completa la risoluzione.
Sinceramente, non avrei proprio potuto far nulla
di meglio (al di là del poco tempo).
Buon anno!

Bruno
(Bruno)

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Messaggio da Gianfranco »

Bruno, ti ringrazio per l'apprezzamento, anche se ho ancora qualche dubbio sulla mia soluzione.
Purtroppo ho poco tempo anch'io...

Ancora BUON ANNO a tutti, ripeterlo fa sempre bene!

Gianfranco

Bruno
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Messaggio da Bruno »

...

Be', l'ho letta un paio di volte (forse tre) e il principio
mi sembra chiaro, o almeno corrisponde a quello
che avrei fatto anch'io.
Comunque, vedo se riesco a tornarci sopra, magari
trovando qualche altra via.
Ciao!

Bruno
(Bruno)

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panurgo
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Messaggio da panurgo »

panurgo ha scritto:[...] 3. quello che bisogna dimostrare è che avere le aree delle lunule uguali alle aree dei triangoli implichi la condizione che i triangoli siano isosceli e rettangoli [...] :cry:
Ragazzi :evil: mi aspetto che, quando scrivo certe castronerie, mi prendiate debitamente a pesci in faccia!

Il problema postula che siano uguali la somma delle lunule e il quadrilatero: questa è una condizione molto meno restrittiva di 3. !

Consideriamo un triangolo isoscele ${\text ABO}$

Immagine

costruiamo la lunula sul lato ${\text AB}$

Immagine

La condizione necessaria perché la lunula e il triangolo siano uguali è che il settore circolare ${\text OACB}$ sia uguale al semicerchio ${\text ADB}$

$\frac {\alpha \/ r^{\script 2}} 2 \/ = \/ \frac \pi 2 \left ( {\frac l 2} \right )^{\script 2}$

ma

$\frac l 2 \/ = \/ r \/ \sin \frac \alpha 2$

per cui

$\sin^{\script 2}\frac \alpha 2 \/ = \/ \frac \alpha \pi \qquad 0 \/ \leq \/ \alpha \/ \leq \/ \pi$

Entrambi i membri di questa uguaglianza variano tra $0$ e $1$: il secondo membro è lineare mentre il primo è monotono crescente con un flesso

Immagine

e l'unico valore per cui l'uguaglianza è valida è $\frac \pi 2$: cioè, il quadrilatero dovrebbe essere un quadrato!

Certo! Se l'aquilone fosse quadrato le lunule avrebbero la stessa area ma mi sembra difficile avere un quadrato con tutti i lati diversi tra loro...

La condizione sulla somma di due lunule è meno restrittiva: se consideriamo un triangolo rettangolo

Immagine

e costruiamo le lunule

Immagine

l'uguaglianza delle lunule con il triangolo si prova con il teorema di pitagora

Immagine

$a^{\script 2} \/ = \/ b^{\script 2} \/ + \/ c^{\script 2} \qquad \Longrightarrow \qquad \frac \pi 8 a^{\script 2} \/ = \/ \frac \pi 8 b^{\script 2} \/ + \/ \frac \pi 8 c^{\script 2} \qquad \Longrightarrow \qquad \frac \pi 2 \left ( { \frac a 2} \right )^{\script 2} \/ = \/ \frac \pi 2 \left ( { \frac b 2} \right )^{\script 2} \/ + \/ \frac \pi 2 \left ( { \frac c 2} \right )^{\script 2}$

Quindi, un quadrilatero formato da due triangoli rettangoli è una soluzione possibile. Quello che resta da dimostrare (che è il significato che volevo dare a quella ca...ta che ho scritto) è che non esistano altre soluzioni cioè che la condizione sulla somma di quattro lunule non sia meno restrittiva di quella su due.

Per verificare questo consideriamo un quadrilatero inscritto in un cerchio

Immagine

Per prima cosa, gli angoli del quadrilatero non sono indipendenti tra di loro (ovviamente, al di là del fatto che danno un totale di $2\pi$): gli angoli opposti sono supplementari

Immagine

Infatti, gli angoli al centro sono esplementari e sono il doppio di quelli alla circonferenza.
Alternativamente, si può sfruttare il fatto che un poligono inscritto in un cerchio è formato di triangoli isosceli

Immagine

Inoltre, il valore dell'angolo in ${\text A}$ non dipende dalla posizione di ${\text A}$ sull'arco ${\text DB}$ in quanto l'angolo al centro non varia al variare di tale posizione: ciò che varia è la porzione di angolo assegnata a ciascuno dei due triangoli. Lo stesso vale, ovviamente, per l'angolo in ${\text C}$ e gli altri due triangoli.
Possiamo quindi descrivere il nostro poligono in funzione di tre angoli, $\alpha$, $\theta$ e $\eta$, e del raggio $r$

Immagine

La differenza tra l'area del cerchio e quella dei quattro semicerchi vale

$\epsilon \/ = \/ \pi r^{\script 2} \/ - \/ \frac \pi 2 \left \{ {\left ( {\frac a 2} \right )^{\script 2} \/ + \/ \left ( {\frac b 2} \right )^{\script 2} \/ + \/ \left ( {\frac c 2} \right )^{\script 2} \/ + \/ \left ( {\frac d 2} \right )^{\script 2}} \right \}$

cioè

$\epsilon \/ = \/ \pi r^{\script 2} \left \{ {1 \/ - \/ \frac {\cos^{\script 2}\theta \/ + \/ \cos^{\script 2}\eta \/ + \/ \cos^{\script 2}\left ( {\pi \/ - \/ \alpha \/ - \/ \eta} \right ) \/ + \/ \cos^{\script 2}\left ( {\alpha \/ - \/ \theta} \right )} 2} \right \}$

e, tenuto conto che

$\cos^{\script 2}x \/ = \/ \frac {1 \/ + \/ \cos 2x} 2$

si ottiene

$\epsilon \/ = \/ \pi r^{\script 2} \left \{ {\frac {\cos 2\theta \/ + \/ \cos 2\eta \/ + \/ \cos 2\left ( {\pi \/ - \/ \alpha \/ - \/ \eta} \right ) \/ + \/ \cos 2\left ( {\alpha \/ - \/ \theta} \right )} 4} \right \}$

Utilizzando la formula $\cos x \/ + \/ \cos y \/ = \/ 2 \cos \frac {x \/ + \/ y} 2 \cos \frac {x \/ - \/ y} 2$ abbiamo

$\epsilon \/ = \/ \pi r^{\script 2} \left \{ {\frac {\cos \alpha \cos \left ( {\alpha \/ - \/ 2\theta } \right ) \/ + \/ \cos \left ( {\pi \/ - \/ \alpha} \right ) \cos \left ( {\pi \/ - \/ \alpha \/ - \/ 2\eta} \right )} 2} \right \}$

ovvero

$\epsilon \/ = \/ \pi r^{\script 2} \left \{ {\cos \alpha \frac { \cos \left ( {\alpha \/ - \/ 2\theta } \right ) \/ + \/ \cos \left ( {\alpha \/ + \/ 2\eta} \right )} 2} \right \}$

e, ripetendo l'operazione, si ottiene

$\epsilon \/ = \/ \pi r^{\script 2} \cos \alpha \cos \left ( {\alpha \/ - \/ \theta \/ + \/ \eta} \right ) \cos \left ( {\theta \/ + \/ \eta} \right )$

A parte il caso degenere per $r \/ = \/ 0$, la differenza è zero quando $\alpha \/ = \/ \frac \pi 2$ e gli angoli in ${\text A}$ e ${\text C}$ sono retti, oppure $\theta \/ + \/ \eta \/ = \/ \beta \/ = \/ \frac \pi 2$ e gli angoli in ${\text B}$ e ${\text D}$ sono retti, e anche

$\left \{ {\theta \/ = \/ \frac \alpha 2 \\ \eta \/ = \/ \frac {\pi \/ - \/ \alpha} 2} \right .$

nel qual caso i raggi di ${\text A}$ e ${\text C}$ sono collineari e gli angoli in ${\text B}$ e ${\text D}$ sono retti.

ERRATA CORRIGE

Stavo per buttar via il bambino con l'acqua sporca! la condizione $\alpha \/ - \/ \theta \/ + \/ \eta \/ = \/ \frac \pi 2$ implica che

$\left \{ {a \/ = \/ 2 r \cos \theta \\ b \/ = \/ 2r \cos \eta \\ c \/ = \/ 2 r \sin \theta \\ d \/ = \/ 2 r \sin \eta} \right.$

e quindi che

$\left { {a^{\script 2} \/ + \/ c^{\script 2} \/ = \/ 4 r^{\script 2} \\ b^{\script 2} \/ + \/ d^{\script 2} \/ = \/ 4 r^{\script 2} } \right.$

cioè è possibile fare l'aquilone senza angoli retti!

Immagine

e vi sono così tre aquiloni minimi: 8-7-1-4, 8-1-7-4 e 8-1-4-7!
Ultima modifica di panurgo il mer gen 10, 2007 1:09 pm, modificato 3 volte in totale.
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