alcune definizioni e teoremi

[IlGuista]

date le definizioni di quadrilatero inscritto e di quadrilatero circoscritto.

Teorema le due altezze di un triangolo si incontrano in uno stesso punto detto ortocentro. Le tre altezze di un triangolo sono gli assi del triangolo che si ottiene tracciando da ogni vertice la parallela al lato opposto

Due mediane di un triangolo si incontrano in un punto che le divide una in una parte doppia dell’altra.

Dicesi angolo al centro un angolo che ha il vertice nel centro di una circonferenza
Dimostrate che a corde uguali corrispondono angoli al centro uguali (assioma ed archi uguali)

[IlGuista]

vi prego help

[Daniela]

Buon anno!
Quadrilatero inscritto e' facile: prendiamo quattro punti distinti sulla circonferenza e questi sono i vertici di un quadrilatero inscritto se li congiungo "in ordine" (cioe' congiungo ogni vertice con i due che gli stanno "vicini" sulla circonferenza, senno', viene un quadrilatero farfalloide che non so se si chiami inscritto) Possiamo quindi definire inscritto ogni quadrilatero che ha tutti i vertici sulla circonferenza e i lati "in ordine". Un quadrilatero circoscritto invece ha i quattro lati tutti tangenti alla circonferenza. Io aspetto sempre a rispondere perche' gli amici di basecinque sono soliti trovare delle risposte molto piu' belle e piu' chiare delle mie e sono sicura che anche questa volta sara' cosi'

[Ivana]

Io direi (molto scolasticamente ) che un quadrilatero convesso con gli angoli opposti supplementari è inscrittibile in un cerchio.
Condizione necessaria e sufficiente affinché un quadrilatero convesso sia circoscrittibile a un cerchio è che la somma di due lati opposti sia uguale alla somma degli altri due lati opposti.
Anch'io sono sicura che altri basecinquini ti forniranno risposte più originali e più eleganti della mia...

[Tino]

Ciao! Scusate l'intervento un po' OT, ma...

a proposito di "quadrilateri farfalloidi", c'è un teorema che in un certo senso mi ha sempre affascinato, chiamato il teorema "mistico" di Pascal. In questo teorema si intendeva come "poligono" una sequenza di segmenti siffatta: prendiamo n punti sul piano e numeriamoli in un modo qualsiasi. Un n-agono è una spezzata che parte da 1 e lo congiunge a 2, poi 2 a 3, eccetera fino a congiungere n-1 a n e n a 1. La spezzata così ottenuta è detta n-agono. In questa definizione sono quindi ammessi poligoni farfalloidi.
Il teorema mistico afferma che dato un esagono (nella visione "larga" di cui sopra) inscritto in una conica, e chiamati i suoi lati ordinatamente a,b,c,d,e,f (nel senso che ad a segue b, cui segue c, ecc.), se prolunghiamo tutti questi lati abbiamo che (r&s indica il punto di intersezione delle rette r ed s) a&d, b&e, c&f appartengono a una stessa retta. Detto a parole, i punti di intersezione dei lati opposti di un esagono inscritto in una conica sono allineati.
L'esagono regolare che abbiamo in mente di solito (almeno io ), quello in cui i lati opposti sono paralleli, è inscritto in una circonferenza e soddisfa questo teorema in un senso proiettivo: i tre punti si trovano nello stesso "iperpiano (retta) all'infinito".

[Tino]

Beh, per essere un po' meno OT, cercherò di dare la definizione di poligono inscritto e circoscritto in (ad) una conica.

Un poligono è una sequenza di punti 1,...,n nel piano congiunti nel seguente modo: se ij indica il segmento che congiunge i e j, i segmenti consecutivi considerati sono 12, 23, ..., (n-1)n, n1. Un poligono 1,...,n si dice inscritto nella conica C se tutti i punti 1,...,n appartengono alla suddetta conica. Si dice circoscritto alla conica C se tutti i segmenti congiungenti vi sono tangenti.

Siccome mi piacciono le visioni proiettive della faccenda, dirò anche che in un fantomatico piano duale, dove il duale di un punto è una retta, il duale di una retta è un punto, il duale di tutto è il vuoto e del vuoto è tutto, e il duale di "essere tangente a" è "appartenere a", mi piace pensare che un poligono P è circoscritto alla conica C se il poligono duale è inscritto nella conica duale (in effetti dovrei riguardare qualche definizione, ma mi sembra che la duale di una conica sia ancora una conica...).

Beh, buon anno

[peppe]

...Condizione necessaria e sufficiente affinché un quadrilatero convesso sia circoscrittibile a un cerchio è che la somma di due lati opposti sia uguale alla somma degli altri due lati opposti. ..

Ivana


...come viene ribadito qui

Mentre per un qualsiasi quadrilatero inscritto,vale il teorema di Tolomeo
come viene autorevolmente confermato,con l'aiuto del:Dr.Geo : lo strumento giusto per gli "smanettoni" informatici.

[IlGuista]

grazie per il vostro aiuto adesso però mi serve un aiuto sulla dimostrazione di questi 3 teoremi:

le due altezze di un triangolo si incontrano in uno stesso punto detto ortocentro. Le tre altezze di un triangolo sono gli assi del triangolo che si ottengono tracciando da ogni vertice la parallela al lato opposto

due mediane di un triangolo si incontrano in un punto che le divide una in una parte doppia dell’altra

a corde uguali corrispondono angoli al centro uguali (assioma ed archi uguali)

[Daniela]

due altezze di un triangolo si incontrano in uno stesso punto detto ortocentro. Le tre altezze di un triangolo sono gli assi del triangolo che si ottengono tracciando da ogni vertice la parallela al lato opposto

c'e' qualcosa che non torna in questo enunciato
Credo che ti chieda "le tre altezze di un triangolo si incontrano tutte in uno stesso punto" perche' e' ovvio che due rette non parallele si incontrano. E poi le altezze sono le rette che si ottengono tracciando da ogni vertice la perpendicolare al lato opposto.

[IlGuista]

si... è la mi prof che è dislessica

[Daniela]

Visto che nessuno ti risponde (tutti ipnotizzati dalla simmetrizzazione? ) ti segnalo questo link http://www.matematicamente.it/storia/triangolo.pdf dove puoi trovare almeno alcune delle dimostrazioni richieste. (C'e' anche il teorema di napoleone, per chi si ricorda una discussione di tanti mesi fa....)

[Ivana]

Credo che la dimostrazione del teorema "Le tre altezze di un triangolo (o i loro prolungamenti) si incontrano in uno stesso punto detto ortocentro" si trovi in ogni manuale di geometria per il liceo scientifico, ad esempio è presente in "Il pensiero geometrico" di Cateni - Fortini, 1 Le Monnier
Comunque, sono sufficienti due altezze di un triangolo (o i loro prolungamenti ) a individuare l'ortocentro: http://www.webalice.it/giusarnataro/Cos ... entro.html
Con un software applicativo (a me piace, ad esempio, cabriII) si può constatare come le rette individuate dalle tre altezze coincidano con gli assi del triangolo "circoscritto" al triangolo di partenza. Usando il puntatore e cliccando su un vertice del triangolo iniziale e trascinandolo, puoi modificare le dimensioni e la forma del triangolo di partenza constatando come le rette individuate dalle tre altezze coincidano sempre con gli assi del triangolo "circoscritto" al triangolo di partenza.

[IlGuista]

Due mediane di un triangolo si incontrano in un punto che le divide una in una parte doppia dell’altra.

chi mi aiuta?

[mathmum]

Ecco qui.
http://www2.polito.it/didattica/polymat ... ediana.htm

Comunque per questi quesiti basta un testo qualsiasi di geometria del biennio delle superiori... non te ne suggerisco uno se no sarebbe pubblicità... il vecchio e classico Palatini Faggioli rimane comunque la "sorgente" da cui sono "sgorgati" tutti i testi odierni.

ciao