Un pò di panettone per tutti!

[bautz]

Questo è un quesito molto carino.
Anzi, più che quesito è un problema di fronte al quale ognuno di noi, almeno una volta nella vita, si è trovato a che fare.
E riguarda il dividere in porzioni eque un prodotto tra un certo numero di persone.
Semplificando pongo il problema in modo natalizio (anzi, capodannizio, che ormai Natale è quasi passato):

Sette persone sono a tavola per il cenone di capodanno.
Si arriva al momento del panettone, e tutti sono golosissimi di panettone!
Ora il punto è: trovare il modo di dividere il panettone tra tutti, in modo tale che ognuno sia soddisfatto della porzione che gli spetta.
Come fare?

Tenete presente che non è solo una questione di peso: se così fosse si potrebbe pesare il panettone e dividerlo in 7 porzioni dello stesso peso, giocando tutta sera con la bilancina.
Ebbene, non è questione di semplice peso: ma anche di qualità! Una fetta di panettone può pesare come un'altra, ma avere molte più mandorle, o molte meno! Quindi come operare?
La soluzione la darò il 31, entro sera, in modo tale da poter provare col panettone dell'ultimo!

Il sistema è valido per qualsiasi numero di persone, da 2 in su.

[Daniela]

Un metodo "pragmatico" e' che uno equipartisce il panettone alla meglio, tutti gli altri selezionano la fetta che gli pare piu' grande lasciando l'ultima all'equipartitore
Poi c'e' il metodo che ho descritto nel topic della mela: si prepara un ottimo frullato omogeneo di panettone e champagne e lo si equipartisce agevolmente........

[delfo52]

il sistema che ho sempre usato io è piuttosto simile a quello descritto da Daniela; e si applica a qualsiasi tipo di materiale anche non omogeneo che deve essere diviso tra più persone, che non si fidano l'una dell'altra e che sperano di fregarli.
Il classico caso di una eredità....
uno dei contendenti, A, prepara una "porzione" che ritiene equa, e della quale "si accontenterebbe" (in realtà crede che sia almeno un pelo maggiore della quota "ideale" che gli compete. Se nessuno solleva obiezioni, se la tiene (ed è contento; per definizione).
uno degli altri, B, se crede che la porzione preparata da A sia superiore al giusto, ne toglie un pezzettino, e dichiara che sarebbe soddisfatto di tenersela; se nessuno obietta, è sua. se C, o D, o Z ritengono la porzione ancora superiore al giusto, la sbocconcelleno e la scena prosegue.
Aggiudicata la prima fetta, gli eventuali bocconcini tolti ritornano nel "monte panettone" da spartire tra n-1 contendenti.
la storia si ripete (il metodo è detto di G.B. Vico...) e comporta che ciscuno, al momento di prendersi la fetta, è "convinto di aver fregaro gli altri", mentre gli altri sono convinti che egli abbia ecceduto nell'alleggerimento, per cui si è accontentato di "un po' meno di quello che sarebbe giusto".
Nel caso delle eredità, non funziona molto bene, per via dei valori affettivi e di alcuni oggetti "unici"... così come per le torte alla frutta, in cui il fragolone centrale determina lotte fratricide.
Il caso del panettone invece si presta abbastanza bene;
non è un intervento molto importante, ma è il numero 5000!!!

[bautz]

Bè, precisissimo Delfo!
Il sistema è proprio quello...
Complimenti, hai lasciato sopravvivere il mio quiz poco più di 12 ore...
E io che pensavo fosse difficile...

[peppe]

...Complimenti, hai lasciato sopravvivere il mio quiz poco più di 12 ore...

Un bel pasticcio,per un... medico matematico...

[Pasquale]

Altro sistema abbastanza natalizio potrebbe essere quello di giocarsi le fette, disequamente porzionate, a TOMBOLA o a MERCANTE IN FIERA: all'ambo un'uvetta passita.

[Gianfranco]

Per una soluzione leggermente diversa da quella di Delfo, vi rimando a:

A new proportional procedure for the n-person cake-cutting problem
Attila Tasnádi

Budapest University of Economic Sciences and Public Administration, Department of Mathematics
Abstract

We present a new cake-cutting procedure which guarantees everybody a proportional share according to his own valuation.

Parte dal classico caso n=2 e lo estende ricorsivamente a qualsiasi n.

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Le caratteristiche UFFICIALI che dovrebbe avere una suddivisione del panettone sono le seguenti (fra n divoratori)

PROPORZIONALITA’: ogni divoratore i, dovrebbe essere convinto che il suo pezzo Pi sia >=1/n di panettone

ASSENZA DI INVIDIA: non esiste un divoratore i che preferisce un pezzo Pj al posto del suo pezzo Pi per qualche j.

EQUITA’: ogni coppia di divoratori dovrebbe essere convinta di avere due pezzi uguali di panettone.

EFFICIENZA: Non esiste una differente divisione del panettone per la quale i divoratori sarebbero più soddisfatti.
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Quando ero un bambino ho studiato a lungo il comportamento delle galline in certi luoghi chiusi ma sufficientemente ampi detti gallinai all'aperto. In particolare quando si getta il grano all'ora dei pasti.
Intanto premetto che ci sono due casi fondamentali: a) le galline hanno la pancia vuota, b) le galline hanno la pancia piena.
Poiché il caso b) è di scarso interesse, considero soltanto il caso a)

Posso affermare che, dopo spintonate varie, intimidazioni, beccate negli occhi, etc. si arriva ad una divisione proporzionale, equa ed efficiente del cibo. Infatti nessuna gallina è mai morta di fame, anzi. Non so se le galline provano invidia.
Le galline hanno sempre qualcosa da insegnarci.

Tra gli esseri umani esistono situazioni simili a quelle del gallinaio: credo che si chiamino "buffet".
Praticamente (con rispetto parlando) sono un gallinaio al rallentatore nel quale vengono divorati dei cibi dolci e salati tagliati sapientemente a fette da qualcuno che non è lì. Ciascuno arriva al cibo destreggiandosi abilmente in una ressa di persone educate cercando la via di minor resistenza e facendosi strada con qualche lieve gomitatina o spintarella. E al momento giusto... zac! E poi bisogna ritirarsi a divorare il pezzo conquistato. Non tutti però si ritirano.

Qual è il segreto del buffet?
a) se i divoratori sono N, le fette sono piccole, abbastanza uguali e il loro numero è MOLTO MAGGIORE DI N

b) un divoratore quindi, non può perdere tempo a valutare quello che prendono gli altri, ma deve concentrarsi sulla propria soddisfazione; questo garantisce l'ASSENZA DI INVIDIA

c) l'assenza di invidia porta ad una sensazione di EQUITA' e viene meno il bisogno di PROPORZIONALITA'

d) nel giro di mezz'ora, tutto è stato divorato tranne forse quelle fette di focaccia secca, e tutti i divoratori se ne vanno soddisfatti pensando: "Questa sera ho cenato gratis". Perciò la divisione è stata senz'altro EFFICENTE ed EFFICACE.

In conclusione, se i convitati sono N, suggerisco portare in tavola panettone in abbondanza già tagliato in non meno di 3N piccole fette abbastanza uguali e di lasciare che si servano da soli, senza seguire alcun ordine.


Buon Capodanno
Gianfranco

[panurgo]

Io vado via solo quando ho finito la focaccia secca (non senza innaffiarla abbondantemente con qualche liquido topazio o rubino)

[delfo52]

non ho avuto il tempo di leggere come si comportano i magiari, ma mi chiedo, caro Gianfranco, in che mondo vivi ?
Hai scrit to destreggiandosi abilmente in una ressa di persone educate ...! per mia esperienza è un caso piuttosto raro...

[Daniela]

ecco, anche io non ho capito come l'azzeccatissima similitudine buffet=gallinaio e' scivolata nel fantascientifico per non dire nel totalmente assurdo "educate" Delfo ha formalizzato al meglio, vorrei far notare che non mi sembra necessario sbocconcellare le fette. Il primo, A, prepara una porzione che ritiene equa: la si offre di seguito a B, C, D... e se tutti la rifiutano, A se la prende. Eccetera. Comunque se si lascia il panettone a seccare e dopo lo si fa in tanti pezzettini e tantissime briciole e lo si butta nel gallinaio stando a vedere le volatili, e' piu' divertente che mangiarlo...