Alcuni Interessanti Problemi

[IlGuista]

ecco una serie di problemi che ho trovato in internet tutti per voi da risolvere...

Let ABC be any triangle and P be a point on BC, different from C. A billiard ball is drawn from P so that it jump at the point Q of the segment CA and then at the point R of the segment AB. The ball has to return at the initial point P.
Describe the trajectory PQR of the ball? Describe the triangles ABC such that there is a closed trajectory PQR of the ball for any initial position of P? Is there a point P so that the perimeter of the triangle PQR is minimal?

Let x1, x2, … , xn be real positive numbers that satisfy the equation
( x1 + x2 + … + xk ) . ( xk + xk+1 + … + xn ) = 1,
for each integer k, where 1 ≤ k ≤ n. Find the numbers, if:
a) n=4;
b) n=10.

Fiat sells 10000 cars in January, any month the increasing of the sales with respect to the previous month is 12 %. Normally, any unitary purchase involves 7000 € of internal shell (protective covering) that is 3 times of the external shell that in turns is 20 % of the total unitary purchase.
The profit of the unitary purchase is 14 %. In September there is production excess (keeping the above parameters fixed) would create a risk to lose 500000 €.
How much percents must be increased the profit of unitary purchase in this month in order to cover the possible hole ?

In a 9x9 square, divided in 81 1x1 squares, place all of the whole numbers from 1 to 81 ( only one number in each 1x1 square) in such a way that the sum of the numbers in each of the 49 squares 3x3 is equal.

Let a>2 be given, and define recursively:
a0 = 1;
a1=a;
an+1=( (an*an)/( an-1*an-1)– 2 )*an.
Show that for all natural numbers k, we have:
1/ a0 + 1/ a1 + … + 1/ ak < 1/2 * ( 2 + a – sqrt( a*a – 2 ))

There are 48 cylindrical cans ordered in a box with 8 rows so that each row contains 6 cans.
Show that you can put 50 cans in the same box.

[franco]

Passerò per un appassionato di biliardi e specchi:

Direi che può funzionare solo su triangoli acutangoli.

[franco]

Individuata la traiettoria e descritto il triangolo (ma come si dice acutangolo in inglese?) resta da trovare la condizione di perimetro minimo:
Gli occhi dicono che è banale (forse) ma per la dimostrazione forse il sabato sera non è il momento più adatto

[franco]

Let x1, x2, … , xn be real positive numbers that satisfy the equation
( x1 + x2 + … + xk ) . ( xk + xk+1 + … + xn ) = 1,
for each integer k, where 1 ≤ k ≤ n. Find the numbers, if:
a) n=4;
b) n=10.


x1=x2=...=xk= 1/k

xk+1=...=xn= (1-1/k)/(n-k)

in questo modo entrambi i fattori risultano uguali ad uno e quindi anche il prodotto. (naturalmente le soluzioni sono infinite ma questa credo sia la più semplice)

[franco]

There are 48 cylindrical cans ordered in a box with 8 rows so that each row contains 6 cans.
Show that you can put 50 cans in the same box.

Dando per unitario il diametro dei cilindri, la dimensione della scatola sarà 6*8.

Dispongo i 50 cilindri in 9 righe sfalsate da 6 e da 5 (a quinconce):
6+5+6+5+6+5+6+5+6=50

La base della scatola sarà sempre 6 mentre l'altezza occupata dai cilindri sarà:

1+8*sen60°= 1+4*sqr(3) = 7,92

Se i cilindri sono bottiglie di birra c'è spazio anche per l'apribottiglie!!