franco ha scritto:Sono in debito di una spiegazione.
...e allora io dovrò indicare, come promesso, il mio
procedimento.
Ho scritto questa soluzione l'estate scorsa e non l'ho
riletta per bene per vedere se potesse o meno essere
semplificata.
E' comunque una versione fedele del mio ragionamento,
anche se molti passaggi sono stati ben più veloci, nella
mia testa, rispetto alla scrittura.
Di bello (se mai vi fosse qualcosa di bello) c'è il fatto che
avrei potuto illustrare questo metodo anche su una spiaggia,
tempo e maree permettendo, sulla sabbia stessa...
^^^
Per cominciare, considero le seguenti relazioni:
x+y+z = 567 = 7x81
xyz = 5670000 = 7x16x81x625
le cui incognite possono variare, a un primo sguardo,
da
99 a
369 = 567-99-99.
Primo punto. Posso fare due ipotesi:
(a) un'incognita è divisibile per
9 e le rimanenti sono
divisibili per
3
(b) una delle incognite è divisibile per
81.
Entrambe le ipotesi sono compatibili senz'altro con
xyz = 7x16x81x625, ma soprattutto con
x+y+z = 7x81,
dal momento che non può accadere che solo un'incognita
sia prima con
3.
Secondo punto. Le tre incognite non possono essere
tutte divisibili per
5, nel rispetto di
x+y+z = 7x81, quindi:
o una di esse è divisibile per
125, oppure vi sono due
incognite divisibili per
25 (sapendo che
x,
y e
z non
possono eccedere
369, che è minore
625, cioè la quarta
potenza di
5).
Terzo punto. Riguardo a
2 posso fare un ragionamento
simile: in questo caso, due sole incognite devono essere
pari, in quanto così è garantito che
x+y+z sia dispari.
Quindi: o una di esse è divisibile per
8, oppure entrambe
sono divisibili per
4.
> Considero l'ipotesi (a).
Già
125x3 = 375 > 369, per cui nessuna incognita è
divisibile per
125 (Secondo punto).
Introducendo anche
7, a prima vista ho queste sole
possibilità:
-
75=25x3, 75=25x3, 63=7x9
-
225=25x9, 75=25x3, 21=7x3.
Il primo caso, però, non si accorda con nessuna
combinazione dei multipli di
2 (
8-2 e
4-4, Terzo punto),
dal momento che un'incognita rimarrebbe sicuramente
minore di
99.
Nel secondo caso, invece, posso accettare solo la
combinazione
8-2 (Terzo punto), poiché
21x4 = 84 Considero l'ipotesi (b).
L'incognita divisibile per 81 può valere 162=81x2 oppure
324=81x4 ( 567 (ma, anche senza fare il calcolo,
si vede che il risultato non può terminare con
7).
D'altra parte, supponendo che due incognite siano divisibili
per
25, vedo che già
25x7 = 175 > 144.
Costretto a escludere
324, di conseguenza, passo a
162.
Verifico subito che
162+125+5x7x8 = 567 e questo fatto porta
a una soluzione del problema.
Nel caso rimanente, trovo che
162+25x7+25x8 = 537 < 567.
Concludendo, la seconda ipotesi mi ha permesso di ricavare
una soluzione, anzi:
l'unica terna di prezzi possibile, cioè:
1,25 €,
1,62 € e
2,80 €.
Stop
)
)...