SPQR (= Son problemi quasi rosicchiati...)

[Bruno]

...


e sono due numeri interi positivi (ovvio).
Fra le loro potenze seguenti corrono questi fatti:

$\,^{\script 19}\,$ divide esattamente $\,$ $\,^{\script 93}$
$\,^{\script 19}\,$ divide esattamente $\,$ $\,^{\script 93}$ .

Bene. Dimostrare che:

$\,$ divide esattamente $\,$ $\,^{\script 5}$
$\,$ divide esattamente $\,$ $\,^{\script 5}$ .


Bruno

[Bruno]

...



$\text Teorema.$


Siano $\small \,a\,$ e $\small \,m\,$ due numeri reali tali che $\small \,a>m$.

Allora si ha $\small \,a=m$.




$\text Dimostrazione.$


Ponendo $\small \,b=\frac{a+m}{2}$, si ha: $\small \,a+m=2b$. Moltiplichiamo ambo

i membri per $\small \,a-m\,$ e otteniamo: $\small \,a^2-m^2=2ab-2bm$,

da cui: $\small a^2-2ab=m^2-2bm$. Aggiungiamo $\small \,b^2 \,$ad ambo i

membri e otteniamo: $\small a^2-2ab+b^2 = m^2-2bm+b^2$, ossia:

$\small (a-b)^2=(m-b)^2$, da cui: $\small a-b=m-b$, quindi:$\small \,a=m$.

[Bruno]

...

Se tre termini consecutivi della successione:

$\alpha n^{\script 2}+\beta n+\gamma\;$ (con $\;\alpha,\, \beta,\, \gamma, \,n\, \in \, Z$)

sono divisibili per sette, allora anche tutti i
rimanenti termini (prendendo cioè un $\,n\,$
qualsiasi) sono multipli di sette.

Vero o falso?

[Pigreco]

...



$\text Teorema.$


Siano $\small \,a\,$ e $\small \,m\,$ due numeri reali tali che $\small \,a>m$.

Allora si ha $\small \,a=m$.




$\text Dimostrazione.$


Ponendo $\small \,b=\frac{a+m}{2}$, si ha: $\small \,a+m=2b$. Moltiplichiamo ambo

i membri per $\small \,a-m\,$ e otteniamo: $\small \,a^2-m^2=2ab-2bm$,

da cui: $\small a^2-2ab=m^2-2bm$. Aggiungiamo $\small \,b^2 \,$ad ambo i

membri e otteniamo: $\small a^2-2ab+b^2 = m^2-2bm+b^2$, ossia:

$\small (a-b)^2=(m-b)^2$, da cui: $\small a-b=m-b$, quindi:$\small \,a=m$.

se a>m e b=(a+m)/2
si ha che m0
mentre m-b < 0

visto che togliendo il quadrato metto il valore assoluto diventa

a-b=b-m
cioè
a+m=2b (ovvero un nulla di fatto)

azzeccato?

[Bruno]

(...) azzeccato?

Yesss...

[0-§]

...

Se tre termini consecutivi della successione:

$\displaystyle \alpha n^{\script 2}+\beta n+\gamma\;$ (con $\;\alpha,\, \beta,\, \gamma, \,n\, \in \, Z$)

sono divisibili per sette, allora anche tutti i
rimanenti termini (prendendo cioè un $\,n\,$
qualsiasi) sono multipli di sette.

Vero o falso?

Vero,naturalmente;si tratta di dimostrarlo

Diciamo che n é il primo numero per cui si ha che
$\displaystyle \alpha {n^2}+\beta n+\gamma=7K$. (1)
Per ipotesi,anche per il numero successivo (n+1) si deve avere che
$\displaystyle \alpha {(n+1)^2}+\beta (n+1)+\gamma=7J$ (2),
cioé che
$\displaystyle \alpha {n^2}+2\alpha n +\alpha +\beta n+ \beta +\gamma=7J$,
e raccogliendo al primo membro di quest'ultima equazione i termini presenti anche al primo membro della (1) e sostituendoli troviamo
$\displaystyle 7K+ (\beta +2\alpha n+\alpha) =7J$ ,
il che naturalmente é vero se e solo se $(\beta +2\alpha n+\alpha)$ é un multiplo di 7(1° lemma).

Sempre per ipotesi,anche per il terzo numero di partenza (n+2) deve essere vera l'uguaglianza
$\displaystyle \alpha {(n+2)^2}+\beta (n+2)+\gamma=7L$ (3);
svolgendo i calcoli,semplificando come per la (2) e raccogliendo un 2 tra i tre termini che non si possono sostituire viene che
$\displaystyle 7K+ 2(\beta +2\alpha n+2\alpha) =7L$.
Perché anche questa sia vera deve quindi essere che $(\beta +2\alpha n+2\alpha)$;confrontando questo risultato col 1° lemma,si ha che questo é vero se e solo se anche $\alpha$ é multiplo di 7.

E ora l'ultimo punto:passiamo al nuovo numero successivo,(n+3),non contemplato dall'ipotesi ma dalla tesi.Sempre applicando i soliti procedimenti,trovo che
$\displaystyle \alpha {(n+3)^2}+\beta (n+3)+\gamma=7M$ (4)
se e solo se $(\beta +2\alpha n+3\alpha)$ é multiplo (anche lui!) di 7 e questo naturalmente é vero se e solo se é vero il 1° lemma e se $\alpha$ é multiplo di 7,che é proprio ciò che segue dall'ipotesi.

E applicando il caro vecchio "principio di induzione" unitamente a un po' di comune buon senso si vede che se:
1)la proprietà in questione é vera per tre termini successivi(come afferma l'ipotesi) e se
2)questa proprietà é tale che,se essa vale per tre valori consecutivi di n,allora vale anche per il quarto numero direttamente consecutivo(e ciò discende dall'ipotesi stessa),
tale proprietà vale anche per tutti i valori di n successivi a quelli forniti dalla tesi.
QED

Puff!Per fortuna che erano problemi rosicchiati...con questo,Bruno,mi hai fatto sudare qualche numero di camicie multiplo di 7

Spero di essere stato chiaro in tutti i passaggi.
Molti omaggi,
0-§