Ogni triangolo acutangolo di area $\small \,1\,$è contenuto
in un triangolo rettangolo di area $\small \, \sqr{3}$.
Secondo voi, è vera questa affermazione
(L'ho appena letta ma non ancora ragionata...)
Bruno
Vera o falsa?
Moderatori: Gianfranco, Bruno
Questo forum è una sezione del PORTALE DI BASE CINQUE
Vera o falsa?
...
Ogni triangolo acutangolo di area $\small \,1\,$è contenuto
in un triangolo rettangolo di area $\small \, \sqr{3}$.
Secondo voi, è vera questa affermazione
(L'ho appena letta ma non ancora ragionata...)
Bruno
Ogni triangolo acutangolo di area $\small \,1\,$è contenuto
in un triangolo rettangolo di area $\small \, \sqr{3}$.
Secondo voi, è vera questa affermazione
(L'ho appena letta ma non ancora ragionata...)
Bruno
(Bruno)
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Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
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Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
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{Rudi Mathematici}
di prima battuta, direi che è vera.
solo così, per istinto, mi sono persuaso che il "peggiore triangolo acutangolo" ( ai fini del quesito) sia il vecchio banale equilatero.
Ora, se tale triangolo ha il vertice A in alto e base BC, prolungo la base a destra e sinistra. Con vertice in A costruisco un angolo retto, "allargando a destra e sinistra di 15°" il vertice dell'equilatero.
Chiamando B' e C' i vertici in basso del triangolo rettangolo, è facile vedere che l'area di esso è proprio radice di 3
Resta da dimostrare che l'equilatero è il peggiore...
solo così, per istinto, mi sono persuaso che il "peggiore triangolo acutangolo" ( ai fini del quesito) sia il vecchio banale equilatero.
Ora, se tale triangolo ha il vertice A in alto e base BC, prolungo la base a destra e sinistra. Con vertice in A costruisco un angolo retto, "allargando a destra e sinistra di 15°" il vertice dell'equilatero.
Chiamando B' e C' i vertici in basso del triangolo rettangolo, è facile vedere che l'area di esso è proprio radice di 3
Resta da dimostrare che l'equilatero è il peggiore...
Enrico
Vi sono molti modi di costruire triangoli rettangoli che contengano un triangolo dato. Io ho scelto questo: poggiamo il triangolo sul suo lato più lungo
il punto $\text C$ deve cadere nella regione delimitata dai tre archi di cerchio: infatti, se cade entro il semicerchio inferiore il triangolo è ottusangolo mentre il lato $\overline {\text AB}$ non è il maggiore se $\text C$ cade fuori dai due archi di cerchio superiori.
Segnamo il punto medio della base, $\text O$
Tracciamo la retta passante per i punti $\text A$ e $\text B$
Tracciamo la circonferenza con centro in $\text O$ e passante per $\text C$
Troviamo le intersezioni della circonferenza con la retta
e tracciamo il triangolo $\overset { \triangle}{\text A^{\script \prime}B^{\script \prime}C}$
tale triangolo ha l'altezza in comune con il triangolo $\overset { \triangle}{\text ABC}$ quindi il rapporto tra le due aree è uguale al rapporto tra le due basi.
La base del secondo triangolo è pari a $2 r$, dove $r \equiv \overline {\text OC}$
Evidentemente, il rapporto tra le aree è massimo quando il punto $\text C$ è più distante possibile da $\text O$
Il primo triangolo è equilatero e quindi l'altezza è pari a $\frac {\sqrt 3} 2$ volte la base, mentre la base del secondo triangolo è due volte l'altezza del primo: il rapporto tra le aree è pari a $\sqrt 3$ quindi se l'area del primo triangolo è $1$, quella del secondo è $\sqrt 3$.
il punto $\text C$ deve cadere nella regione delimitata dai tre archi di cerchio: infatti, se cade entro il semicerchio inferiore il triangolo è ottusangolo mentre il lato $\overline {\text AB}$ non è il maggiore se $\text C$ cade fuori dai due archi di cerchio superiori.
Segnamo il punto medio della base, $\text O$
Tracciamo la retta passante per i punti $\text A$ e $\text B$
Tracciamo la circonferenza con centro in $\text O$ e passante per $\text C$
Troviamo le intersezioni della circonferenza con la retta
e tracciamo il triangolo $\overset { \triangle}{\text A^{\script \prime}B^{\script \prime}C}$
tale triangolo ha l'altezza in comune con il triangolo $\overset { \triangle}{\text ABC}$ quindi il rapporto tra le due aree è uguale al rapporto tra le due basi.
La base del secondo triangolo è pari a $2 r$, dove $r \equiv \overline {\text OC}$
Evidentemente, il rapporto tra le aree è massimo quando il punto $\text C$ è più distante possibile da $\text O$
Il primo triangolo è equilatero e quindi l'altezza è pari a $\frac {\sqrt 3} 2$ volte la base, mentre la base del secondo triangolo è due volte l'altezza del primo: il rapporto tra le aree è pari a $\sqrt 3$ quindi se l'area del primo triangolo è $1$, quella del secondo è $\sqrt 3$.
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
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"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
