(...) $\;$Sapendo che $\small \,x, y\,\neq\, 1\,$ e $\small \,x\,\neq\, y\,$,
dimostrare che le due frazioni:
$\frac{yz-x^{\script 2}}{1-x}\, =\, \frac{xz-y^{\script 2}}{1-y}$
sono uguali alla somma delle tre variabili.
Scrivo di seguito l'idea (l'unica!) che mi è venuta
in mente.
Dalla semplice identità:
$(x+y)(x-y) = x^{\script 2}-y^{\script 2} = (xz-y^{\script 2})-(yz-x^{\script 2})-z(x-y)$
ricavo subito questa, essendo $\small \,x\neq y$:
$x+y+z = \frac{(xz-y^{\script 2})-(yz-x^{\script 2})}{x-y}$.
Ora, ritorno all'uguaglianza delle due frazioni:
$\frac{xz-y^{\script 2}}{1-y}=\frac{yz-x^{\script 2}}{1-x}$
che converto 'immantinente' (per le note proprietà
delle proporzioni) in:
$\frac{(xz-y^{\script 2})-(yz-x^{\script 2})}{x-y}=\frac{yz-x^{\script 2}}{1-x}$
per cui è:
$x+y+z = \frac{yz-x^{\script 2}}{1-x}=\frac{xz-y^{\script 2}}{1-y}$
(ignorando eventuali sviste).
Adesso che l'ho scritta sembrerebbe abbastanza
fluida, come risoluzione, quasi naturale... mah!
Ancora non capisco, però, da dove salti fuori questo
curioso
quiz, se sia proprio scollegato da qualche
proprietà non insignificante che il suo aspetto
particolare non aiuta a distinguere
Bruno
