bautz ha scritto: 
$AB^2 = (1-a)^2+b^2$
$BC^2 = (1-b)^2+c^2$
$CD^2 = (1-c)^2+d^2$
$AB^2 = (1-d)^2+a^2$
$AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=a^2+b^2+c^2+d^2+(1-a)^2+(1-b)^2+(1-c)^2+(1-d)^2$
$AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=4$
-$2\[(a^2-a)+(b^2-b)+(c^2-c)+(d^2-d)\]$
Il massimo è quando
$(a^2-a)+(b^2-b)+(c^2-c)+(d^2-d)$
assume il valore più grande, che è 0, per
$a=0$ oppure $a=1$
$b=0$ oppure $b=1$
$c=0$ oppure $c=1$
$d=0$ oppure $d=1$
cioè quando A, B, C, D si trovano sugli angoli del quadrato di partenza
E il massimo è appunto $4$
Il minimo è quando
$(a^2-a)+(b^2-b)+(c^2-c)+(d^2-d)$
assume il valore più piccolo, che per
$(a^2-a), (b^2-b), (c^2-c), (d^2-d)$
è ovviamente $\frac 1 2$ in quanto è l'ascissa del vertice delle "paraboline"
Quindi il minimo è $4-2\{4\[({\frac 1 2)}^2- \frac 1 2\]\}$
Cioè $2$
Ottimo!
(Bisognava solo cambiare un + con un -,
si vede che oggi è la "giornata
basecinquina
dei segni"...)
Più o meno ho ragionato così anch'io.
Utilizzando il tuo bello schema, son partito
da qui:
$\small 2\,\le\, AB^2+BC^2+CD^2+DA^2\,=\,a^2+b^2+c^2+d^2+(1-a)^2+(1-b)^2+(1-c)^2+(1-d)^2\,\le\, 4$
e, riordinando:
$\small 2\,\le\, a^2+(1-a)^2+b^2+(1-b)^2+c^2+(1-c)^2+d^2+(1-d)^2\,\le\, 4$.
Ora, raddoppio tutto e sistemo, sapendo
che 2(p²+q²)=(p+q)²+(p-q)²:
$\small 4\,\le\, 2[a^2+(1-a)^2]+2[b^2+(1-b)^2]+2[c^2+(1-c)^2]+2[d^2+(1-d)^2]\,=\,4+(2a-1)^2+(2b-1)^2+(2c-1)^2+(2d-1)^2\,\le\, 8$
ossia:
$\small 0\,\le\, (2a-1)^2+(2b-1)^2+(2c-1)^2+(2d-1)^2\,\le\, 4$,
e siamo alla meta.
Al centro compare una somma di quadrati reali,
che è senz'altro non negativa (e si annulla quando
i punti sono i centri dei lati).
Inoltre, poiché
a,
b,
c e
d non sono maggiori di 1,
anche il loro doppio meno 1 non lo è (e quella somma
diventa 4 quando i punti sono i vertici del quadrato).
Restano quindi giustificate entrambe le limitazioni.
(Salvo sviste...)
Bruno
