DIMOSTRAZIONE DIVISIBILITA' POLINOMIO SENZA LA DIVISIONE

[IlGuista]

Ragazzi mi sapete dimostrare che il polinomio

2x^4 + 5x^3 - 5x^2 - 10x + 8

E' DIVISIBILE PER

(x-1) (x+2)

senza eseguire la divisione?

[IlGuista]

non ho proprio idea io...

[mathmum]

Cito il Sig. Ruffini (programma 1° anno scuole superiori - divisibilità dei polinomi)
"Un polinomio P(x) è divisibile per un binomio (x-a) se e solo se P(a)=0"

ciao ciao

[bautz]

"Un polinomio P(x) è divisibile per un binomio (x-a) se e solo se P(a)=0"

Interessante!
E' necessaria e sufficiente o è solo necessaria? (matematicamente parlando)

[Pasquale]

Forse intendevi qualcosa del genere?

$\text 2x^4+5x^3-5x^2-10x+8 = 2x^4-2x^3+7x^3-7x^2+2x^2-2x-8x+8 =$
$\text=2x^3(x-1)+7x^2(x-1)+2x(x-1)-8(x-1) = (x-1)(2x^3+7x^2+2x-8) =$
$\text=(x-1)(2x^3+4x^2+3x^2+6x-4x-8) = (x-1)[2x^2(x+2)+3x(x+2)-4(x+2)] =$
$\text=(x-1)(x+2)(2x^2+3x-4)$

[mathmum]

"Un polinomio P(x) è divisibile per un binomio (x-a) se e solo se P(a)=0"

Interessante!
E' necessaria e sufficiente o è solo necessaria? (matematicamente parlando)

"se e solo se" indica una condizione necessaria e sufficiente

ciao

[Pigreco]

Forse intendevi qualcosa del genere?

$\text 2x^4+5x^3-5x^2-10x+8 = 2x^4-2x^3+7x^3-7x^2+2x^2-2x-8x+8 =$
$\text=2x^3(x-1)+7x^2(x-1)+2x(x-1)-8(x-1) = (x-1)(2x^3+7x^2+2x-8) =$
$\text=(x-1)(2x^3+4x^2+3x^2+6x-4x-8) = (x-1)[2x^2(x+2)+3x(x+2)-4(x+2)] =$
$\text=(x-1)(x+2)(2x^2+3x-4)$

bello, sei andato a naso oppure qualche trucchetto (tipo sapendo già il risultato)?

[infinito]

"Un polinomio P(x) è divisibile per un binomio (x-a) se e solo se P(a)=0"

Interessante!
E' necessaria e sufficiente o è solo necessaria? (matematicamente parlando)

Se reputi interessante questo allora forse può interessarti anche un utile teorema per trovare alcuni possibili zeri (i valori per cui P(a)=0 ).


Gli zeri razionali di un polinomio (in una variabile) a coefficienti interi sono numeri che hanno per numeratore un divisore del termine noto e per denominatore un divisore del primo coefficiente (il coefficiente del monomio di grado massimo).


Quindi per trovare gli zeri razionali basta applicare la regola del Sig. Ruffini (che io chiamo “regola del resto) a tutti i numeri della forma sopra. Una volta provati tutti (o trovato un numero di zeri pari al grado positivo del polinomio) sono sicuro che eventuali altri zeri sono solo irrazionali.


Faccio presente che se divido il polinomio per tutti i binomi del tipo (x-a), con a zero razionale, il prodotto dei numeratori degli zeri moltiplicato per il termine noto del quoziente è uguale al termine noto di P(x), ed il prodotto dei denominatori degli zeri moltiplicato per il primo coefficiente del quoziente è uguale al primo coefficiente di P(x).
Quindi ogni volta che trovo uno zero (diverso da 1 e da -1) posso diminuire il ventaglio delle possibilità, perché trovo un nuovo termine noto e primo coefficiente con meno divisori.

(Sono stato inopportuno? Mi scuso, ma fatemelo sapere, perché sennò magari insisto ...)

[Bruno]

(Sono stato inopportuno? Mi scuso, ma fatemelo sapere...

Stai scherzando, vero?
Ciao, Infinito

[infinito]

Bruno, sei sempre molto educato e gentile (oltre che ferrato in matematica): ti ringazio anche per quanto deto nell'altra discussione.

[Pasquale]

Per Pigreco:

si, divertente giochino di prestigio che serviva per capire il tipo di dimostrazione che veniva richiesto.
Dal tipo di domanda, mi sembrava che si richiedesse proprio questo tipo di esercizio, visto che la risposta era già nota.
In alternativa, bisognava dimostrare la stessa regola di Ruffini (almeno credo).