LCPP 5

[panurgo]

In realtà non è equivalente:

A) il sacco contiene una pallina di cui non conosco il colore

B) il sacco contiene cento palline di cui cinquanta di un colore e cinquanta dell'altro

sono due proposizioni molto diverse che portano ad assegnare la stessa probabilità di pescare una pallina a caso ma non la stessa probabilità dopo lo scherzetto di inserire una bianca: infatti, in A la probabilità di pescare una bianca è $\frac 1 2$ perché corrisponde alla probabilità che ci sia una bianca; in B, invece, io so che ci sono cinquanta palline bianche.
In ambedue i casi la situazione fisica non è cambiata dopo lo scherzetto di introdurre una bianca e di aver pescato (a caso) una bianca ma, mentre in B il mio stato di conoscenza non è cambiato, in A lo è. Supponi di ripetere l'esperimento molte volte e di pescare ogni volta una bianca: sarebbe davvero strano di non pescare mai la nera se davvero fosse nel sacchetto. Dopo $n$ ripetizioni dell'esperimento in cui hai pescato ogni volta la bianca la probabilità che la pallina rimasta nella borsa sia bianca è

$p \left ( a = B \/ \middle | \/ e = B^{\script n} \/ I \right ) = \frac {2^{\script n}}{2^{\script n} + 1}$

Basta pescare una sola volta la nera per essere certi che la borsa contenesse la nera...

[delfo52]

è proprio quello che penso io..nessuno ha detto che si tratta della decima , o della centesima estrazione; o che si tratti di un caso rarissimo, o di una situazione obbligata.
Tu dici che dopo aver estratto una pallina, nel caso A è mutata la tua conoscenza, però dopo fai due esempi entrambi diversi da quanto enunciato: parli di una estrazione Nera, o di "molte estrazioni" Bianche.
In tali casi, è ovvio che cambia qualcosa in quello che conosci; in realtà, nel caso di estrazione N, cambia in modo sostanziale, nel caso BBBBB, cambia in modo "probabilistico".
Ma il fatto è che nel quesito siamo di fronte ad una sola estrazione, di colore B.

[infinito]

ultimo messaggio; nel tentativo di chiarire. Poi, prometto che taccio...

No, dai, delfo, abbiamo ancora tempo per provre a capirci.
Intanto non mi hai risposto (io ho dato per scontato che tu avessi capito che estraevo una pallina bianca, non necessariamente la stessa che avevo aggiunto per ultima, ma ti ho presentato altre motivzioni al tuo errore ...

[delfo52]

ci aggiungessi una pallina bianca e poi ne estraessi una: dall'esito dell'estrazione avrei un'informazione utile a migliorare la mia conoscenza del contenuto della borsa. (ho fatto c&c; non so fare i riquadri come voi...)


E' qui che non mi trovo d'accordo.
Non tutte le estrazioni, per loro natura, sono utili.
Certo, una serie numerosa di estrazioni fornisce indicazioni probabilistiche.
E anche una estrazione effettuata in modo "vergine", senza aver prima introdotto alcunchè.
E anche una estrazione che porta fuori dal sacco qualcosa di differente da quello che vi è stato prima introdotto, o la cui presenza nel sacco è certa e nota.

esempi (ovvi, ma è meglio chiarirci):
-se estraggo novantanove fenicotteri uno dopo l'altro, so con certezza che c'erano 99 fenicotteri. Posso essere indotto a credere che, se c'è ancora qualcosa, con "molta probabilità" sono ancora fenicotteri (ma non ne hò ja certezza)
-se estraggo una pallina verde, so con certezza che c'era almeno una pallina verde, ma non so NULLA su quello che può esserci rimasto
-se so che c'è solo una pallina, e estraggo una pallina Gialla, so con certezza che la pallina era gialla e che ora il sacco è vuoto.
-se so che c'è un oggetto di tipo e colore sconosciuto, aggiungo un fenicottero, scuoto ed estraggo un fenicottero identico, so con certezza che dentro è rimasto un ogetto di cui non posso prevedere tipo e colore (e che potrebbe essere un altro fenicottero)
-se so che c'è un ragioniere; aggiungo un altro ragioniere, scuoto, estraggo un geometra. adesso so che c'era anche almeno un geometra, e che ora ci sono almeno due ragionieri

dimmi/ditemi su quali di questi scenari siete d'accordo

[infinito]

Mi pare che tu abbia cambiato le carte in tavola: si parla (finora parlavi) di probabilità, che “solo occasionalmente” significa “certezze”, cionondimeno si tratta di una teoria di matematica, con tutto quello che segue. Per inciso tutta la termodinamica viene spiegata mirabilmente da tali leggi, ed il fatto che esista una probabilità molto bassa, ma non nulla, che tutta l'aria di una stanza si addensi in un secchio, non impedisce che sia esatto considerare che questo evento sia impossibile.

dimmi/ditemi su quali di questi scenari siete d'accordo

Mi sembra di essere d'accordo con tutti gli esempio che hai fatto, ma tu invece che ne dici dei miei (li riposto, così ti è più facile capire di quali parlo)

C'è un sacco con dentro palline bianche e nere, 10^100 palline di un colore ed 1 di un altro colore, ma non so se sono in maggioranza quelle bianche o quelle nere.

Se ne estraessi una a caso una è chiaro che potrebbe essere di un qualunque colore, ma è pure chiaro che se fosse bianca la probabilità che lo siano anche quasi tutte altre è “molto alta”.

Analogo ragionamento vale se prima di prima di estrarne una ne aggiungo una bianca: se il sacco avesse la maggioranza di palline nere ed estraessi a caso, molto probabilmente uscirebbe una nera, e viceversa per le bianche, per cui il fatto che esca una pallina bianca significa che probabilmente di nere ce ne è una sola.

A me paiono chiarissimi: non capisco le tue perplessità, puoi spiegarmele?

[delfo52]

temo che questa discussione interessi oramai solo noi due....

Ho scritto:
se so che c'è un oggetto di tipo e colore sconosciuto, aggiungo un fenicottero, scuoto ed estraggo un fenicottero identico, so con certezza che dentro è rimasto un ogetto di cui non posso prevedere tipo e colore (e che potrebbe essere un altro fenicottero)
e tu dici che ti pare di concordare
Non è la situazione di cui si tratta?
Quando metto una moneta da 1 euro in tasca, dove ci sono altri spiccioli, e poi al bar la estraggo per pagare il caffè, non so quanto mi resta in tasca, ma sicuramente c'è la stessa somma di prima che mettessi l'euro dentro. e questo lo SO, in modo positivo, non in modo probabilistico. Sono d'accordo ovviamente sui discorsi di termodinamica e sul fatto che estrarre proprio la bianca tra centomila nere è evento raro, ma non è di questo che parliamo
l'esempio che fai tu, mi pare...portare acqua al mio mulino; nel senso che l'eventuale introduzione di una bianca in più non cambia nulla in quello che si può dedurre dopo l'estrazione: se estraiamo B diremo che molto probabilmente c'è solo una nera, se estraiamo N diremo che di B ce n'è solo una (o due, ma non cambia)

[Pasquale]

Mi pare di assistere ad un dibattito di sofismo matematico, dove le conclusioni dei diversi ragionamenti dipendono dal modo in cui sono impostati i ragionamenti stessi.

Si arriva al 2/3 distinguendo le palline bianche fra B1 e B2 e considerando 3 situazioni diverse:

1) Ho estratto una pallina bianca B, perché nel sacchetto c’erano N-B
2) Ho estratto la pallina bianca B1, perché nel sacchetto c’erano B1-B2
3) Ho estratto la pallina bianca B2, perché nel sacchetto c’erano B1-B2

Se avessi invece detto:

1) Ho estratto una pallina bianca, perché nel sacchetto c’erano N-B
2) Ho estratto una pallina bianca B, perché nel sacchetto c’erano B-B

Quale sarebbe stato il risultato?

Quando nel primo caso diciamo che è di 2/3 la probabilità che nel sacchetto sia rimasta una pallina bianca, trasformiamo in B la pallina B1 o B2: voglio dire che non so se è esatto prima distinguere fra le due bianche, come se fossero di due colori diversi (verde e rosso) e poi considerare semplicemente bianca quella che resta dopo l’estrazione, o quella che è stata estratta.

Non so sono riuscito ad esprimere il mio dubbio

[infinito]

Pasquale, secondo me non si tratta a affatto di “sofismo matematico”, ma di sostanza.

Provo a spiegarmi meglio, al solito, con un esempio.

Che me pensi di «Supponi di avere un'urna con 19 palline B e 2 N, allora la probabilità di estrarre B è 0,5, perché i casi sono 2: o esce B o esce N, e sono 1 è quello favorevole»?

La risposta dovrebbe essere ovvia: «Il ragionamento è sbagliato perché i 2 casi sono assolutamente equiprobabili, cioè non conta solo il colore delle due palline, ma conta quante sono le palline che hanno qual colore».

Non so se l'esempio è stato chiarificatore (e se ti ha chiarito facendoti concordare con quello che ho detto io sopra, oppure discordare ...), ma a me pare di sì, per cui aspetto la tua risposta.








delfo, se non ti conoscessi direi che ti sei irrigidito fino a non “ascoltare” (nota bene: lo dico come cosa che mi stupisce, perché mi pare che tu sia sempre apertissimo, possibilista e molto attento a ricevere tutti i suggerimenti, oltre che dotato di critica originalissima), però qui non riesco davvero a capire le tue “rimostranze”. Vabbe', non è detto checi si debba sempre chiarire ...

so che c'è un oggetto di tipo e colore sconosciuto, aggiungo un fenicottero, scuoto ed estraggo un fenicottero identico, so con certezza che dentro è rimasto un oggetto di cui non posso prevedere tipo e colore (e che potrebbe essere un altro fenicottero)
e tu dici che ti pare di concordare
Non è la situazione di cui si tratta?

Sì, e in senso deterministico non posso prevedere “niente”, ma nel nostro caso ho altre informazioni ('è una pallina che è o B o N), e ne ricavo una informazione probabilistica.

Concordo che nel nostro caso è molto meno evidente che nel caso di 10^100 palline di un colore (B o N) e una dell'altro: qui se estraggo una pallina a caso, è “molto probabile” che sia del colore della maggioranza, per cui se quella che estraggo è B ne deduco che “probabilmente” c'è solo una nera, se quella che estraggo è N “probabilmente” c'è solo una B.

Dopo di che anch'io “mi arrendo” (sia ben chiaro: non per questo cade la mia stima su di te).

Alla prossima, Gaspero.

[Daniela]

ci aggiungessi una pallina bianca e poi ne estraessi una: dall'esito dell'estrazione avrei un'informazione utile a migliorare la mia conoscenza del contenuto della borsa. (ho fatto c&c; non so fare i riquadri come voi...)


E' qui che non mi trovo d'accordo.
Non tutte le estrazioni, per loro natura, sono utili.
Certo, una serie numerosa di estrazioni fornisce indicazioni probabilistiche.
E anche una estrazione effettuata in modo "vergine", senza aver prima introdotto alcunchè.
E anche una estrazione che porta fuori dal sacco qualcosa di differente da quello che vi è stato prima introdotto, o la cui presenza nel sacco è certa e nota.

esempi (ovvi, ma è meglio chiarirci):
-se estraggo novantanove fenicotteri uno dopo l'altro, so con certezza che c'erano 99 fenicotteri. Posso essere indotto a credere che, se c'è ancora qualcosa, con "molta probabilità" sono ancora fenicotteri (ma non ne hò ja certezza)
-se estraggo una pallina verde, so con certezza che c'era almeno una pallina verde, ma non so NULLA su quello che può esserci rimasto
-se so che c'è solo una pallina, e estraggo una pallina Gialla, so con certezza che la pallina era gialla e che ora il sacco è vuoto.
-se so che c'è un oggetto di tipo e colore sconosciuto, aggiungo un fenicottero, scuoto ed estraggo un fenicottero identico, so con certezza che dentro è rimasto un ogetto di cui non posso prevedere tipo e colore (e che potrebbe essere un altro fenicottero)
-se so che c'è un ragioniere; aggiungo un altro ragioniere, scuoto, estraggo un geometra. adesso so che c'era anche almeno un geometra, e che ora ci sono almeno due ragionieri

dimmi/ditemi su quali di questi scenari siete d'accordo

Continuate a discutere, io lo trovo molto molto interessante!
A me sembra che il contesto in cui va inquadrato questo gioco e' quello del campione e della distribuzione. Abbiamo una distribuzione probabilistica ignota (fra parentesi questo e' il tipico caso reale!) a volte sappiamo alcune informazioni generali, ad es. che tende a una gaussiana sotto certe circostanze, oppure, nemmeno quello. Estraiamo dei campioni, cioe', prendiamo da questa distribuzione un sottoinsieme che campioniamo (una specie di sondaggi di opinione) ottenendo una determinata distribuzione del campione. Facciamo questo ripetutamente, ottenendo una serie (o tipicamente una successione finita) di distribuzioni relative ai vari campioni. Che cosa ci dice questo sulla distribuzione originale? Beh ci dice delle cose, ci sono dei teoremi ..... o meglio: papoulis et similia...
Se pero' prendiamo neanche un solo campione, ma un solo campione di campione (scusate la cacofonia di campionati ) io sono tendenzialmente d'accordo con Enrico che questo con elevata probabilita' non ci dice proprio niente di utile.

PS sono d'accordo su tutti gli scenari presentati