LCPP 5

[panurgo]

Per poter risolvere LCPP 16 sembra essere necessario risolvere prima questo

Una borsa contiene una pallina che può essere bianca o nera; nella borsa viene inserita una pallina bianca, la borsa viene scossa e ne viene estratta una pallina bianca: qual è la probabilità che la borsa contenga ora una pallina bianca?

[delfo52]

Noi non sappiamo quale probabilità c'è che la prima estratta dal sacchetto, dopo l'aggiunta della B, sia B.
Ma non ci interessa saperlo; e non ci facciamo domande su che cosa sarebbe successo nel caso di estrazione N.
Bianco è stato, e col bianco dobbiamo giocare.
A mio avviso, l'aver aggiunto una bianca e averne tolta altrettanto, lascia immutata la situazione di partenza.
ma che significa che all'inizio c'è una pallina 50/50 ?
Forse è utile una simulazione di questo tipo: prima ancora abbiamo messo nel sacchetto due palline, una B e una N; poi con un qualche sistema, una di queste è stata tolta in modo anonimo e senza possibilità di conoscere di che colore (è stato un bambino bendato in una stanza buia, che ha poi inghiottito la pallina). A questo punto la B viene aggiunta, e siamo alla situazione nota...

[bautz]

Io direi ancora che ci sono 2 casi su 3 di estrarre la pallina bianca...
Cioè B da BB (e resta B nel sacchetto)
o l'altra B da BB (e resta B)
Mentre 1 su 3 che resti nera, cioè B su BN (e resta N nel sacchetto).

Basta mi fermo qui

[panurgo]

Inizialmente ($I_{\script 1}$) la borsa $a$ contiene una pallina ignota; abbiamo due proposizioni

$a = N \equiv {\text nella borsa c\'\grave{e} una pallina nera} \\ a = B \equiv {\text nella borsa c\'\grave{e} una pallina bianca}$

le due proposizioni sono mutualmente esclusive ed esaustive per cui assegno la probabilità

$p \left ( a = N \/ \middle | \/ I_{\script 1} \right ) = p \left ( a = B \/ \middle | \/ I_{\script 1} \right ) = \frac 1 2$

Dopo l'aggiunta e l'estrazione di una pallina bianca ($I_{\script 2}$), come dice bautz, abbiamo tre proposizioni

$a = N \equiv {\text nella borsa c\'\grave{e} una pallina nera e ho estratto la pallina bianca che ci avevo messo dentro} \\ a = B_{\script 1} \equiv {\text nella borsa c\'\grave{e} una pallina bianca e ho estratto la pallina bianca che ci avevo messo dentro} \\ a = B_{\script 2} \equiv {\text nella borsa c\'\grave{e} una pallina bianca e ho estratto la pallina bianca che c\'era all\'inizio}$

le tre proposizioni sono mutualmente esclusive ed esaustive per cui assegno la probabilità

$p \left ( a = N \/ \middle | \/ I_{\script 2} \right ) = p \left ( a = B_{\script 1} \/ \middle | \/ I_{\script 2} \right ) = p \left ( a = B_{\script 2} \/ \middle | \/ I_{\script 2} \right ) = \frac 1 3$

e la probabilità che la borsa contenga una pallina bianca vale

$p \left ( a = B \/ \middle | \/ I_{\script 2} \right ) = p \left ( a = B_{\script 1} \/ \middle | \/ I_{\script 2} \right ) + p \left ( a = B_{\script 2} \/ \middle | \/ I_{\script 2} \right ) = \frac 2 3$

[delfo52]

non mi convince,
Quello che avviene al primo sacchetto (metterci dentro X e toglierci X) non altera ciò che c'era prima, nè ciò che ci resta dopo.
Provo a fare delle simulazioni ideali.
-Il sacco è vuoto. aggiungo B.mescolo.tolgo B....il sacco è vuoto
-il sacco contiene 9 fenicotteri rosa e una caffettiera. aggiungo B. mescolo. tolgo B. ...il sacco contiene 9 fenicotteri e una caffettiera
-il sacco contiene 99 palline nere. aggiungo B. mescolo. tolgo B...il sacco contiene 99N
-il sacco contiene un numero imprecisato di oggetti non definiti.aggiungo B. mescolo.tolgoB...il sacco contiene un numero imprecisato di oggetti non definiti, ma lo stesso numero e la stessa tipologia di prima

quello che cambia è solo la probabilità che, dopo il mescolamento, venga estratta B
Ma di questo il problema nulla dice e nulla chiede

[panurgo]

ma non è detto che tu tolga X: puoi benissimo togliere la pallia che c'era prima e hai due modi di togliere una bianca se prima c'era una bianca e uno solo di toglierla se prima c'era la nera; ne consegue che tolta la bianca che rimanga una bianca è più probabile

[delfo52]

secondo il tuo ragionamento dimostra solo che è più probabile estrarre una bianca, ma non dice nulla su quello che è rimasto dentro.
Nel caso che tu sappia che cosa c'era prima (palline o fenicotteri non fa differenza), è ovvio che la mossa di introdurre e poi estrarre non modifica.
Lo stesso se tu non sai assolutamente che cosa c'è (dall'insieme vuoto, ad una collezione di farfalle a tre ballerine seminude....); anche in questo caso la probabilità di estrarre una qualsiasi cosa (pallina o ballerina che sia) è identica prima e dopo

[Bruno]

Enrico, non riesco a seguirti! Help me!
Il ragionamento di Panurgo è giusto anche
per me...
(Ma ora vado a prendermi un digestivo.)

[delfo52]

provo a spiegarmi meglio.
ti faccio vedere un sacco, senza dirti che cosa contiene, nè se contiene qualcosa.
Ci metto dentro una pallina B.
dopo un po', e dopo aver agitato (o a occhi bendati), ne estraggo una pallina B.
Ora ti chiedo: la probabilità che alla prossima estrazione venga estratto un qualsiasi oggetto è cambiata rispetto alla situazione precedente?
Iniziamo a modificare lo scenario:
prima di mettere dentro la pallina, annuncio che dentro ci sono tre ballerine e sette ornitorinchi.
Cambia qualcosa dopo la mossa della pallina?
Se annuncio che ci sono 153 palline verdi, cambia qualcosa?
Se annuncio che ci sono 99 palline N e 1 B...
o 100 palline N...
o 50B e 50N...
Se annuncio che ci sono 99 palline B e una N...

Che ci siano 2possibilità su 3 di estrarre B, rende questo evento più probabile, ma non mi sembra importante; anche se fosse un evento rarissimo, una volta che è avvenuto ( e che ci siamo stupiti del fatto raro ,vedi l'esempio 100N), non incide nè nel passato nè nelle future estrazioni. E se c'era il 50% prima, il 50% rimane dopo.

[bautz]

secondo il tuo ragionamento dimostra solo che è più probabile estrarre una bianca, ma non dice nulla su quello che è rimasto dentro.
Nel caso che tu sappia che cosa c'era prima (palline o fenicotteri non fa differenza), è ovvio che la mossa di introdurre e poi estrarre non modifica.
Lo stesso se tu non sai assolutamente che cosa c'è (dall'insieme vuoto, ad una collezione di farfalle a tre ballerine seminude....); anche in questo caso la probabilità di estrarre una qualsiasi cosa (pallina o ballerina che sia) è identica prima e dopo

è identica prima e dopo: non è proprio così.
Infatti se nel sacchetto c'è una bianca e inserisci una bianca, la probabilità che, dopo aver estratto una bianca, ci sia una bianca all'interno, è del 100% (sia che estrai quella che già c'era, sia che estrai quella che hai inserito: 2 casi dunque).
Se invece c'è una nera, inserisci una nera, ed estrai una bianca, la possibilità che ci sia una bianca dentro è del 0%.
Visto che i casi in cui puoi estrarre una bianca sono 3, e le volte che nel sacchetto resta una bianca sono 2, la probabilità è 2/3

prima di mettere dentro la pallina, annuncio che dentro ci sono tre ballerine e sette ornitorinchi.
Cambia qualcosa dopo la mossa della pallina?

Dentro al sacchetto ci devono essere o palline e ballerine, o palline e ornitorinchi. Non ballerine e ornitorinchi. Altrimenti è un altro tipo di problema

[panurgo]

Delfo, per ipotesi, nel sacchetto c'è una pallina, o bianca o nera; aggiungo una pallina bianca: adesso ci sono due palline, una bianca e l'altra o bianca o nera
caso 1: BB, ho una probabilità del 100% di estrarre una pallina bianca
caso 2: BN, ho una probabilità del 50% di estrarre una pallina bianca

$p \left (e=B \/ \middle | \/ caso \ 1 \/ I \right ) = 1 \\ p \left (e=B \/ \middle | \/ caso \ 2 \/ I \right ) = \frac 1 2$

la probabilità che sia vero il caso 1 e pari a qulla che sia vero il caso 2 quindi (teorema di Bayes)

$p \left (caso \ 1 \/ \middle | \/ e=B \/ I \right ) = \frac {p \left (caso \ 1 \/ \middle | \/ I \right ) \times p \left (e=B \/ \middle | \/ caso \ 1 \/ I \right ) }{p \left (e=B \/ \middle | \/ I \right )}$

ma, la probabilità di estrarre una bianca è uguale a

$p \left (e=B \/ \middle | \/ I \right ) = p \left (caso \ 1 \/ \middle | \/ I \right ) \times p \left (e=B \/ \middle | \/ caso \ 1 \/ I \right ) + p \left (caso \ 2 \/ \middle | \/ I \right ) \times p \left (e=B \/ \middle | \/ caso \ 2 \/ I \right )$

sostituendo si ha

$p \left (caso \ 1 \/ \middle | \/ e=B \/ I \right ) = \frac 1 {1 + \frac 1 2} = \frac 2 3$

[delfo52]

evidentemente parliamo di due problemi diversi, o di due momenti diversi del problema.
Tu introduci anche il caso che la pallina estratta sia diversa da quella introdotta: è un altro gioco.
In tutti i ragionamenti e calcoli che sono riuscito a capire (ma ammetto di non essere in grado di decifrarli tutti), mi sembra che entri in un qualche modo la "probabilità che la pallina tirata fuori" sia bianca. Ma questo non ha nessuna influenza sul quesito.
Non riesco a vedere che differenza faccia il fatto che la pallina B sia stata per un po' nascosta. Il risultato "algebrico" dei suoi spostamenti è un bello zero spaccato. Che sia stata dentro il sacco, o in bella vista, o in bocca allo sperimentatore, non fa alcuna differenza.
Comunque domani mattina vado a fare qualche sperimento con il mio conto corrente in banca: voglio vedere se, a versare 100 euro, per poi tirarli fuori, il conto cresce....

[infinito]

Scusa Delfo, mi pare che ci sia un concetto che ti è sfuggito, per cui provo a vedere di spiegarlo.
Inizio anch'io con un esempio.

C'è un sacco con dentro palline bianche e nere, 10^100 palline di un colore ed 1 di un altro colore, ma non so se sono in maggioranza quelle bianche o quelle nere.

Se ne estraessi una a caso una è chiaro che potrebbe essere di un qualunque colore, ma è pure chiaro che se fosse bianca la probabilità che lo siano anche quasi tutte altre è “molto alta”.

Analogo ragionamento vale se prima di prima di estrarne una ne aggiungo una bianca: se il sacco avesse la maggioranza di palline nere ed estraessi a caso, molto probabilmente uscirebbe una nera, e viceversa per le bianche, per cui il fatto che esca una pallina bianca significa che probabilmente di nere ce ne è una sola.








Tu dici che il fatto di mettere e poi levare una stessa cosa (o “analoga”, come nel caso di due diverse palline bianche) non altera il contenuto, e questo è vero, ma qui si parla di probabilità, non di contenuto.
È un po' come se
- ci guardassi dentro e vedessi quello che c'è: non cambia il contenuto, ma se all'inizio potevano esserci 1 pallina B o N, al 50%, dopo aver guardato saprei al 100% il colore effettivo;
- se sapessi che le bianche sono più ruvide e io le “tastassi” dall'esterno della borsa: non avrei la certezza del colore, ma la probabilità potrebbe cambiare;
- facessi qualche “esperimento” o misura volti a conoscere meglio (in senso probabilistico) il contenuto della borsa;
- ci aggiungessi una pallina bianca e poi ne estraessi una: dall'esito dell'estrazione avrei un'informazione utile a migliorare la mia conoscenza del contenuto della borsa.



Spero di essere stato chiaro, Gaspero.

[panurgo]

evidentemente parliamo di due problemi diversi, o di due momenti diversi del problema.
Tu introduci anche il caso che la pallina estratta sia diversa da quella introdotta: è un altro gioco.
In tutti i ragionamenti e calcoli che sono riuscito a capire (ma ammetto di non essere in grado di decifrarli tutti), mi sembra che entri in un qualche modo la "probabilità che la pallina tirata fuori" sia bianca. Ma questo non ha nessuna influenza sul quesito.
Non riesco a vedere che differenza faccia il fatto che la pallina B sia stata per un po' nascosta. Il risultato "algebrico" dei suoi spostamenti è un bello zero spaccato. Che sia stata dentro il sacco, o in bella vista, o in bocca allo sperimentatore, non fa alcuna differenza.

Una borsa contiene una pallina che può essere bianca o nera; nella borsa viene inserita una pallina bianca, la borsa viene scossa e ne viene estratta una pallina bianca: qual è la probabilità che la borsa contenga ora una pallina bianca?

1. Una borsa contiene una pallina che può essere bianca o nera
2. nella borsa viene inserita una pallina bianca
3. la borsa viene scossa e ne viene estratta una pallina bianca

e non

3. la borsa viene scossa e ne viene estratta la pallina bianca che era stata inserita

E' questo il problema e non uno in cui viene estratta la stessa pallina

[delfo52]

ultimo messaggio; nel tentativo di chiarire. Poi, prometto che taccio...
Dire che la pallina pre-esistente è B o N al 50%, secondo me è equivalente ad avere un sacco, un po' più grande, con 50 palline B e 50 N.
Se a questo punto aggiungo una pallina B; scuoto, ed estraggo una pallina B, che cosa rimane dentro il sacco?
secondo me, 50B e 50N
che, secondo me, equivale al 50%
che, secondo, me, equivale ad una sola pallina che può essere al 50% B o N
Ripeto, secondo me.