LCPP 16

[panurgo]

Una borsa contiene una pallina che può essere bianca o nera, un'altra borsa contiene una pallina bianca e due nere; nella prima borsa viene inserita una pallina bianca, la borsa viene scossa e ne viene estratta una pallina bianca: è più probabile scegliere una pallina bianca a) pescando da una delle due borse senza sapere di quale si tratta o b) mescolando il contenuto delle due borse prima di pescare?

[bautz]

Estraendo da una borsa a caso ho 5/12 di beccare la bianca.
Mescolando i 2 sacchetti invece ho 2/5.
5/12 = 25/60
2/5 = 24/60
Quindi è più probabile estrarre da una borsa a caso

edit:
Spiego:
Secondo caso è 2 palline bianche e 3 nere, quindi 2/5.
Il primo caso invece è 1/2 di prendere il 1° sacchetto e 1/2 di prendere il 2°.
Per il 1° ho 1/2 di beccare la bianca (quindi 1/2 * 1/2 => 1/4).
Per il secondo 1/3 di beccare la bianca (quindi 1/2 * 1/3 => 1/6).
1/4 + 1/6 = 5/12

riedit:

Una borsa contiene una pallina [...]

MANNAGGIA NON SO LEGGERE!!! Riprovo
(in effetti mi sembrava troppo semplice...

[panurgo]

Una borsa contiene una pallina [...]

[bautz]

Una borsa contiene una pallina [...]

Sorry...

Ho 1/2 che la pallina nella prima borsa, prima di inserire la bianca, sia nera, e 1/2 che sia bianca.
Quindi divido in 2 problemi, ognuno con un 50% di probabilità.

Primo caso, pallina nera all'inizio, quindi inserendo la bianca ho una bianca e una nera (BN).
Pesco la bianca dal 1° sacchetto.
Pescando la seconda pallina da un sacchetto a caso ho 0 * 1/2 di prenderla dal 1° e 1/3 * 1/2 di prenderla dal 2°.
Quindi in totale 1/6 (cioè 0 + 1/6) estraendo da un sacchetto a caso.
Unendo i 2 sacchetti ho 1 B e 3 N, quindi 1/4 estraendo dai 2 sacchetti insieme.

Secondo caso, pallina bianca all'inizio, quindi inserendo la bianca ho 2 bianche (BB).
Pesco la bianca dal 1° sacchetto.
Pescando la seconda pallina da un sacchetto a caso ho 1 * 1/2 di prenderla dal 1° e 1/3 * 1/2 di prenderla dal 2°.
Quindi in totale 2/3 (cioè 1/2 + 1/6) estraendo da un sacchetto a caso.
Unendo i 2 sacchetti ho 2 B e 2 N, quindi 1/2 estraendo dai 2 sacchetti insieme.

Faccio la media tra i 2 casi, quindi:
estraendo da un sacchetto a caso avrei 5/12 (cioè (1/6 + 2/3)/2) ).
estraendo dai due sacchetti uniti avrei 3/8 (cioè (1/4 + 1/2)/2 ).

Quindi è più probabile se estraggo da un sacchetto a caso.
Eppure c'è ancora una cosa che non mi convince...
E si basa sull'estrazione della primissima pallina, la bianca.
Che nella metà dei casi avviene al 100%, nell'altra metà al 50%.
Forse non c'entra, però...

[panurgo]

Lascio in sospeso per un po' la risposta per vedere se qualcun altro si lascia tentare...

[bautz]

Eppure c'è ancora una cosa che non mi convince...
E si basa sull'estrazione della primissima pallina, la bianca.
Che nella metà dei casi avviene al 100%, nell'altra metà al 50%.
Forse non c'entra, però...

Infatti...
Mi ha ingannato l'esposizione. Dovevo aspettarmi una cosa complicata da panurgo
Il problema si può leggere come: estrarre 2 palline bianche dai sacchetti.
Estraendo la prima dal sacchetto 1, è più probabile estrarre la seconda da un sacchetto a caso tra il 1° e il 2°, oppure dai due mischiati?

Quindi ricapitolando.
Di estrarre la 1a pallina bianca dal 1° sacchetto (che contiene BN o BB al 50 e 50) ho 1 per BB e 1/2 per BN.
Quindi 2 volte su 4 mi resta una bianca nel 1° sacchetto, e 1 volta su quattro mi resta una nera.
Quindi le probabilità che avevo segnato prima van corrette, e date la metà al caso BN.
Perciò (probabilità di estrarre 2 palline come detto sopra):
Caso BB
2/3 estraendo la 2a da un sacchetto a caso.
1/2 estraendo la 2a dai 2 sacchetti insieme.
Caso BN
1/12 estraendo la 2a da un sacchetto a caso.
1/8 estraendo la 2a dai 2 sacchetti insieme.

Mediando:
(2/3 + 1/12)/2 = 3/8 estraendo la 2a da un sacchetto a caso.
(1/2 + 1/8)/2 = 5/16 estraendo la 2a dai 2 sacchetti insieme.

Mi viene ancora che conviene estrarre da un sacchetto a caso

Mi sarei aspettato un ribaltamento del risultato...

[panurgo]

Riprova e sarai più fortunato...

[delfo52]

io .la vedo così
per comodità moltiplico per due le borse, con l'astuto strattagemma di raddoppiare così come è la seconda che risulterà quindi contenere 4nere e 2bianche, mentre della prima farò una copia partendo con una bianca e una partendo con la nera; aggiungendo due bianche (1*2), la prima borsa, raddoppiata, conterrà 3bianche e 1nera.
Scegliendo di rimescolare il tutto, avremo un borsone con 10 palline, 5bianche e 5 nere. cioè un bel 50%
Se mantengo le due borse separate, e scelgo a caso, andrò a pescare nel 50% dei casi dalla borsa con 3bianche su 4 e nel 50% in quella con 2 bianche su 6..
Estrarrò peratnto bianco 3volte su 8 nelprimo caso e 1 su 6 nel secondo. sommando fa 13/24
che è meglio
SE&O

[panurgo]

Si accettano altre interpretazioni

[Pasquale]

Ciao Pan, a dire il vero c'è qualcosa che non ancora mi è chiaro: tu dici che nella prima borsa viene inserita una pallina bianca (aggiunta alla situazione iniziale?) e che poi dalla stessa borsa viene estratta una pallina bianca (mi è sembrato di capire così).
Se così fosse, la situazione iniziale non sarebbe cambiata e non capisco a cosa è servito aggiungere una pallina e poi toglierla.

Quindi poni il quesito ed io ho capito che questo si riferisce alla situazione successiva, cioè dopo aver aggiunto e tolto una pallina bianca dalla prima borsa.

Siccome tutta la faccenda mi pare un po' strana, dal momento che ho anche perso l'allenamento ai quesiti del forum, la domanda è: ho capito bene, o non ho capito un tubo?

[panurgo]

Pas, in una prima fase alla borsa A (quella che contiene una pallina incognita) viene aggiunta una pallina bianca e ne viene tolta una bianca (ma non necessariamente la stessa): fa parte del quesito stabilire se questo ha o no un effetto

[delfo52]

qui occorre qualche chiarimento.
le mie considerazioni sono ovviamente riferite allo stato in cui la pallina B è stata aggiunta al primo sacco, ma non è stata fatta nessuna estrazione. A questo punto si chiede ad un giocatore: per avere più chances di pescare B, preferisci pescare da un pool comune in cui versiamo tutte le palline, o preferisci estrarre da un solo sacchetto, estratto a sorte?
E questo è un gioco.
Se invece la pallina bianca viene introdotta, e poi estratta dopo "scossamento", le cose cambiano(?)
nel senso che non ci viene detto che cosa sarebbe successo se la pallina estratta era differente.
Facendo un ragionamento simile a quello fatto prima, direi che:
la situazione dopo aver aggiunto e tolta una stessa "entità" è immodificata rispetto a prima (come se avessimo aggiunto un elefante e poi lo avessimo estratto...)
per cui abbiamo "mezza pallina B e mezza N"
moltiplico ancora per 2, e ho, nella prima borsa "B N " e nella seconda "BBNNNN"
ripetendo lo stesso calcolo proposto prima, ottengo 9/24 per la scelta del pool unico (3B su
e 10/24 per l'altra opzione (1/4 + 1/6)
SE&O

[Pasquale]

Ho letto quello che c'era da leggere e sinceramente non riesco a capire del tutto come sia possibile mischiare il contenuto dei due sacchetti, dei quali uno contiene 1 pallina bianca e due nere, mentre l'altro contiene 2/3 di palline bianche e 1/3 di palline nere.
Seguendo i ragionamenti di Delfo, potrei moltiplicare per 3 il contenuto dei sacchetti e dunque avrei in totale 5 palline bianche e 7 palline nere, da cui la probabilità di estrarre una pallina bianca sarebbe di $\frac {5}{12}=0,41666...$

Scegliendo a caso uno dei due sacchetti, la maggiore probabilità di scegliere una pallina bianca sarebbe $\frac {1}{2}\cdot \frac{2}{3}=\frac{1}{3}=0,333...$

Per cui converrebbe mischiare prima il contenuto dei due sacchetti, ma non sono sicuro di non aver fatto una grande confusione.

[panurgo]

Lo scenario è: $I_{\script 1}$ la borsa $b$ contiene una pallina bianca e due nere, la borsa $a$ contiene una pallina incognita; $I_{\script 2}$ tratto la borsa $a$ come in LCPP 5. In queste condizioni, la probabilità di estrarre una pallina bianca da una delle due borse senza sapere quale borsa è

$p \left ( e = B \/ \middle | \/ I_{\script 2} \right ) = p \left ( a \/ e = B \/ \middle | \/ I_{\script 2} \right ) + p \left ( b \/ e = B \/ \middle | \/ I_{\script 2} \right )$

cioè e la somma della probabilità di pescare una pallina bianca e di pescarla dalla borsa $a$ e della probabilità di pescare una pallina bianca e di pescarla dalla borsa $b$.
Applicando la regola del prodotto

$p \left ( e = B \/ \middle | \/ I_{\script 2} \right ) = p \left ( a \/ \middle | \/ I_{\script 2} \right ) \/ p \left (e = B \/ \middle | \/ a \/ I_{\script 2} \right ) + p \left ( b \/ \middle | \/ I_{\script 2} \right ) \/ p \left (e = B \/ \middle | \/ b \/ I_{\script 2} \right )$

sappiamo da LCPP 5 che la probabilità di pescare bianca dalla borsa $a$ è

$p \left (e = B \/ \middle | \/ a \/ I_{\script 2} \right ) = \frac 2 3$

ed è ragionavole assegnare la probabilità di pescare bianca dalla borsa $b$

$p \left ( e = B \/ \middle | \/ b \/ I_{\script 2} \right ) = \frac 1 3$

Dato che nulla distingue le due borse possiamo assegnare la probabilità di pescare da una o dall'altra borsa in base al principio di indifferenza, cioè

$p \left ( a \/ \middle | \/ I_{\script 2} \right ) = p \left ( b \/ \middle | \/ I_{\script 2} \right ) = \frac 1 2$

Sostituendo questi valori si ottiene

$p \left ( e = B \/ \middle | \/ I_{\script 2} \right ) = \frac 1 2 \times \frac 2 3 + \frac 1 2 \times \frac 1 3 = \frac 1 2$

Mescolare il contenuto delle due borse ( $I_{\script 3}$) è equivalente ad aggiungere una pallina alla borsa $b$: se si aggiunge una pallina bianca la probabilità di estrarre una bianca diventa

$p \left ( e = B \/ \middle | \/ a = B \/ I_{\script 3} \right ) = \frac 1 2$

se si aggiunge una pallina nera

$p \left ( e = B \/ \middle | \/ a = N \/ I_{\script 3} \right ) = \frac 1 4$

La probabilità di aggiungere una bianca è pari alla probabilità di avere una bianca nella borsa $a$ (ricordate LCPP 5) e la probabilità di aggiungere una nera è complementare

$p \left ( e = B \/ \middle | \/ I_{\script 3} \right ) = p \left ( a = B\/ \middle | \/ I_{\script 3} \right ) \/ p \left (e = B \/ \middle | \/ a = B \/ I_{\script 3} \right ) + p \left ( a = N \/ \middle | \/ I_{\script 3} \right ) \/ p \left (e = B \/ \middle | \/ a = N \/ I_{\script 3} \right ) = \frac 2 3 \times \frac 1 2 + \frac 1 3 \times \frac 1 4 = \frac 5 {12}$

Si hanno maggiori chance se si sceglie da una borsa a caso ( $I_{\script 2}$)

[infinito]

Leggo solo ora, dopo l'ultima risposta di Panurgo, che , come sempre, credo che sia ineccepibile (ma confesso che non l'ho letta).

Però a me non piacciono i calcoli, per cui posto la mia versione alla domanda che, ricordo, non prevedeva la probabilità, ma solo «È PIÙ PROBABILE scegliere una pallina bianca a) pescando da una delle due borse senza sapere di quale si tratta o b) mescolando il contenuto delle due borse prima di pescare?»

Allora si fanno alcune considerazioni:

Il caso della reintroduzione si è ampiamente discusso nell'altro messaggio (anche se delfo non concorda), e lo riaffronto come segue:
- io ho una pallina sola che può essere B o N;
- ci inserisco una B, e ho ancora 2 possibilità, a seconda della pallina iniziale: BB e NB;
- poi estraggo una pallina; ora ho 4 opzioni, e le rappresento aggiungendo la pallina estratta (preceduta da un “-”) alla situazione rappresentata prima: BB-B1 (due palline bianche e estraggo quella che c'era già), BB-B2 (due palline bianche e estraggo quella che ho inserita), NB-N1 (una pallina nera ed una bianca e estraggo quella che c'era già), NB-B2 (una pallina nera ed una bianca e estraggo quella che ho inserito);
- se so che la pallina estratta è bianca non posso essere nel terzo caso, per cui i casi possibili sono solo gli altri 3;
- ne consegue che la probabilità (come rapporto fra il numero dei casi favorevoli e quello dei possibili) è 2/3, che è la probabilità che la pallina rimasta sia bianca.



A questo punto sappiamo che abbiamo due borse e che la probabilità di estrarre una pallina bianca dalla prima borsa è 2/3 (si è visto sopra), mentre quella di estrarla dalla seconda borsa è 1/3 (ovvio, visto che contiene una pallina bianca e due nere).

Se si sceglie a caso una delle due borse la situazione è simmetrica, nel senso che ho la stessa probabilità di scegliere una pallina bianca (2/3 o 1/3 al 50%) o una nera (1/3 o 2/3 al 50%), per cui la probabilità di scegliere una bianca è complessivamente ½.

Se mescolo le due borse mescolo due borse in cui le probabilità B/N sono reciproche, e se contenessero lo stesso numero di palline si avrebbe che la probabilità di avere una B o una N dopo il mescolamento sarebbe comunque uguale, quindi uguale a 1/2.

Se invece mescolo due borse con numero diverso, di fatto calcolo una probabilità “pesata”, e la borsa con più monete “vince”, nel senso che è più probabile estrarre il colore che aveva maggiore la probabilità con la borsa “più numerosa”.

Nel nostro caso la prima borsa ha una sola pallina, mentre la seconda ne ha 3, per cui se le mescolo è più probabile estrarne una N. (**)


Risposta: è più probabile estrarre una B se estraggo a caso una pallina da una delle due borse scelte a caso, invece che estrarre a caso la pallina dall'insieme delle palline delle due borse.



Il discorso è lungo, ma il concetto mi pare abbastanza semplice e “corto”; i calcoli sono davvero semplici e pochi, il tutto mi pare abbastanza convincente.
(**) L'unica cosa che mi pare non del tutto dimostrata riguarda l'affermazione contrassegnata da “(**)”, ma è comunque vera.