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PER TRE PUNTI NON ALLINEATI PASSA UNA E UNA SOLA CIRCONFEREN
COME SI DIMOSTRA CHE PER TRE PUNTI NON ALLINEATI PASSA UNA E UNA SOLA CIRCONFERENZA???????
La Lingua Pura...
Con la geometria analitica, risolvendo il sistema
$\left \{ x_{\script 1}^{\script 2} + y_{\script 1}^{\script 2} + \alpha x_{\script 1} + \beta y_{\script 1} +\gamma =0 \\ x_{\script 2}^{\script 2} + y_{\script 2}^{\script 2} + \alpha x_{\script 2} + \beta y_{\script 2} +\gamma =0 \\ x_{\script 3}^{\script 2} + y_{\script 3}^{\script 2} + \alpha x_{\script 3} + \beta y_{\script 3} +\gamma =0 \right .$
Dato che ha tre equazioni e tre incognite, se i punti sono distinti il sistema è determinato
$\left \{ x_{\script 1}^{\script 2} + y_{\script 1}^{\script 2} + \alpha x_{\script 1} + \beta y_{\script 1} +\gamma =0 \\ x_{\script 2}^{\script 2} + y_{\script 2}^{\script 2} + \alpha x_{\script 2} + \beta y_{\script 2} +\gamma =0 \\ x_{\script 3}^{\script 2} + y_{\script 3}^{\script 2} + \alpha x_{\script 3} + \beta y_{\script 3} +\gamma =0 \right .$
Dato che ha tre equazioni e tre incognite, se i punti sono distinti il sistema è determinato
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
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Pigreco
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mmh... vediamo un po'
lavoro in geometria euclidea
ESISTE???
una circonferenza è il luogo dei punti equidistanti da un punto fisso detto centro...
abbiamo 3 punti...
Inizio a prendere in considerazione 2 punti...
suppongo già dimostrato il teorema dell'asse del segmento (la perpendicolare al punto medio) che esiste, è unico ed è il luogo dei punti equidistanti dai due punti iniziali...
questo è una linea retta, e il centro della circonferenza, se esiste, deve estare su questa retta (perchè deve essere equidistante da ogni punto della circonferenza, quindi anche dai due punti considerati...
Ora considero uno di questi due punti ed il terzo, anche per loro posso fare lo stesso discorso degli assi...
In generale i due assi così creati non saranno paralleli, per cui esisterà un punto di intersezione che chiamerò O e sarà il centro della circonferenza che in questo caso esiste perchè O sta sugli assi dei due segmenti...
Ora se O non esiste vuol dire che gli assi sono paralleli; gli assi sono costruiti considerando la perpendicolare ai segmenti.
se i due assi sono paralleli tra loro vuol dire questi sono per forza allineati (lo puoi mostrare facilmente), per cui questo caso è fuori dalle ipotesi...
similmente se due punti (o tutti e tre) coincidessero cadrebbe la condizione di non alineamento in quanto per due punti passa una e una sola retta, mentre per un punto ne passano infinite.
E' UNICA???
Ammettiamo che esistano due circonferenze distinte che passano per i tre punti considerati.
allora queste circonferenze avrebbero due centri diversi O e O'
considero allora i triangoli ABO e ABO'
questi hanno il lato AB in comune, AO=BO (sono raggi di una circonferenza)
AO'=BO' (sono raggi dell'altra circonferenza)
quindi questi due triangoli sono isosceli. chiamato M il punto medio di AB per i teoremi sui triangoli isoscieli MO è altezza di AB (tanto quanto MO')
ma se vale il teorema dell'unicità dell'asse del segmento allora O O' e M sono allineati. stesso discorso per i triangoli ACO e ACO' dai quali deriva l'assurdo, perchè come detto prima gli assi di AB e BC non coincidono....
Attendo numerose correzioni
bye
lavoro in geometria euclidea
ESISTE???
una circonferenza è il luogo dei punti equidistanti da un punto fisso detto centro...
abbiamo 3 punti...
Inizio a prendere in considerazione 2 punti...
suppongo già dimostrato il teorema dell'asse del segmento (la perpendicolare al punto medio) che esiste, è unico ed è il luogo dei punti equidistanti dai due punti iniziali...
questo è una linea retta, e il centro della circonferenza, se esiste, deve estare su questa retta (perchè deve essere equidistante da ogni punto della circonferenza, quindi anche dai due punti considerati...
Ora considero uno di questi due punti ed il terzo, anche per loro posso fare lo stesso discorso degli assi...
In generale i due assi così creati non saranno paralleli, per cui esisterà un punto di intersezione che chiamerò O e sarà il centro della circonferenza che in questo caso esiste perchè O sta sugli assi dei due segmenti...
Ora se O non esiste vuol dire che gli assi sono paralleli; gli assi sono costruiti considerando la perpendicolare ai segmenti.
se i due assi sono paralleli tra loro vuol dire questi sono per forza allineati (lo puoi mostrare facilmente), per cui questo caso è fuori dalle ipotesi...
similmente se due punti (o tutti e tre) coincidessero cadrebbe la condizione di non alineamento in quanto per due punti passa una e una sola retta, mentre per un punto ne passano infinite.
E' UNICA???
Ammettiamo che esistano due circonferenze distinte che passano per i tre punti considerati.
allora queste circonferenze avrebbero due centri diversi O e O'
considero allora i triangoli ABO e ABO'
questi hanno il lato AB in comune, AO=BO (sono raggi di una circonferenza)
AO'=BO' (sono raggi dell'altra circonferenza)
quindi questi due triangoli sono isosceli. chiamato M il punto medio di AB per i teoremi sui triangoli isoscieli MO è altezza di AB (tanto quanto MO')
ma se vale il teorema dell'unicità dell'asse del segmento allora O O' e M sono allineati. stesso discorso per i triangoli ACO e ACO' dai quali deriva l'assurdo, perchè come detto prima gli assi di AB e BC non coincidono....
Attendo numerose correzioni
bye
Pi greco
Riscrivo il sistema in forma matricialepanurgo ha scritto:Con la geometria analitica, risolvendo il sistema
$\left \{ x_{\script 1}^{\script 2} + y_{\script 1}^{\script 2} + \alpha x_{\script 1} + \beta y_{\script 1} +\gamma =0 \\ x_{\script 2}^{\script 2} + y_{\script 2}^{\script 2} + \alpha x_{\script 2} + \beta y_{\script 2} +\gamma =0 \\ x_{\script 3}^{\script 2} + y_{\script 3}^{\script 2} + \alpha x_{\script 3} + \beta y_{\script 3} +\gamma =0 \right .$
Dato che ha tre equazioni e tre incognite, se i punti sono distinti il sistema è determinato
$\left ( \begin{array}{c} {x_{\script 1}} & {y_{\script 1}} & 1 \\ {x_{\script 2}} & {y_{\script 2}} & 1 \\ {x_{\script 3}} & {y_{\script 3}} & 1 \\ \end{array} \right ) \left ( \begin{array}{c} \alpha \\ \beta \\ \gamma \\ \end{array} \right ) = - \left ( \begin{array}{c} {x_{\script 1}^{\script 2} + y_{\script 1}^{\script 2}} \\ {x_{\script 2}^{\script 2} + y_{\script 2}^{\script 2}} \\ {x_{\script 3}^{\script 2} + y_{\script 3}^{\script 2}} \\ \end{array} \right )$
Il sistema è determinato se
$\left | \begin{array}{c} {x_{ \script 1}} & {y_{ \script 1}} & 1 \\ {x_{ \script 2}} & {y_{ \script 2}} & 1 \\ {x_{ \script 3}} & {y_{ \script 3}} & 1 \\ \end{array} \right | \ne 0$
ed è indeterminato se
$\left | \begin{array}{c} {x_{ \script 1}} & {y_{ \script 1}} & 1 \\ {x_{ \script 2}} & {y_{ \script 2}} & 1 \\ {x_{ \script 3}} & {y_{ \script 3}} & 1 \\ \end{array} \right | = 0$
Questo può essere solo se due righe o due colonne del determinante sono tra loro proporzionali e questo può avvenire, per esempio, se due punti sono uguali
$\left | \begin{array}{c} {x_{ \script 1}} & {y_{ \script 1}} & 1 \\ {x_{ \script 1}} & {y_{ \script 1}} & 1 \\ {x_{ \script 3}} & {y_{ \script 3}} & 1 \\ \end{array} \right | = 0$
(la prima e la seconda riga sono uguali), oppure se i tre punti sono collineari (la prima e la seconda colonna sono proporzionali)
$\left | \begin{array}{c} {x_{ \script 1}} & {y_{ \script 1}} & 1 \\ {hx_{ \script 1}} & {hy_{ \script 1}} & 1 \\ {kx_{ \script 1}} & {ky_{ \script 1}} & 1 \\ \end{array} \right | = 0$
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
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