Due conti...

[infinito]

Ok, il discorso torna ammettendo dei
termini nulli, ma se fossero (come dice
Bautz) tutti positivi?

Si tratta di funzioni continue, per cui variando di "poco" i valori (gli "0") si varierà di poco il valore finale.
(Più formalmente: «Per ogni eplsilon positivo esistono ... dei valori tali che la sommatoria su esposta vale 1/4-epsilon, che può quindi sicuramente essere maggiore di 1/5 per ogni valore di n (purché n>1)».)

A lunedì (dove so già che avrò pochissimo tempo ...), Gaspero.

[Bruno]

...

Ciao, Gaspero!

Forse il fatto di non potermi soffermare
quanto vorrei - e dovrei! - sul tuo discorso
(questa mattina, inoltre, ho avuto un po'
di problemi a connettermi), al momento
m'impedisce di focalizzarlo bene.
Ma il problema, senz'altro, è mio.
Puoi trovarmi cinque numeri positivi che
falsifichino la proprietà indicata da Bautz?

Appena riesco, te lo prometto, ritorno
sulle tue considerazioni.

A presto


Bruno

[Bruno]

...

Già, Gaspero, penso che la proprietà di Bautz
non sia vera, come tu dici

Conosco un modo per dimostrare che:

$\frac 14\,\geq\, \left(x_{\small 1}x_{\small 2}+x_{\small 2}x_{\small 3}+...+x_{\small n-1}x_{\small n}+x_{\small n}x_{\small 1}\right)$

dove le $\, x\,$ sono numeri reali non negativi,
la cui somma sia uguale a 1.
O, più in generale, che:

$\left(\frac{x_{\small 1}+x_{\small 2}+...+x_{\small n}}{2}\right)^2\,\geq\, \left(x_{\small 1}x_{\small 2}+x_{\small 2}x_{\small 3}+...+x_{\small n-1}x_{\small n}+x_{\small n}x_{\small 1}\right)$

per cui non si riesce a scendere al di sotto
di quel benedetto (e simpatico) ¼.
Devo volare, purtroppo, e non ho tempo
di trascrivere la dimostrazione. Spero (spero)
di poterlo fare in uno dei prossimi giorni.

Bruno

[bautz]

Conosco un modo per dimostrare che:

$\frac 14\,\geq\, \left(x_{\small 1}x_{\small 2}+x_{\small 2}x_{\small 3}+...+x_{\small n-1}x_{\small n}+x_{\small n}x_{\small 1}\right)$

dove le $\, x\,$ sono numeri reali non negativi.

Bè, ma questo non contraddice l'ipotesi che avevo fatto.

Insomma, prendendo K numeri la cui somma è 1, il risultato di ab+bc+cd+...+Ka sarà al massimo 1/K.

Quindi se n=4 ---> la somma è al max 1/4
Se n=5 ---> la somma è al max 1/5 (e quindi certamente è inferiore a 1/4)
e così via

Cosa ne pensi? Ho perso forse qualcosa?

[Bruno]

...

Ciao, Bautz
Ciò che ho detto non contraddice la tua
generalizzazione, questo è certo, ma non
la dimostra neppure...
Posso dire che quel tipo di somma di
prodotti non superi mai ¼, ma non posso
dire che non superi 1/k se i termini sono k.
I due conticini che son riuscito a fare
finora (in autobus, alle fermate etc.) non
mi hanno permesso di scendere sotto
quel limite.
La tua proprietà mi sembra verosimile,
ma la matematica che conosco mi porta
a condividere la conclusione di Gaspero...


Bruno

[Bruno]

Se n=5 ---> la somma è al max 1/5 (e quindi certamente è inferiore a 1/4)
e così via

...rientro adesso dalla pausa pranzo.
Per utilizzare il tuo esempio, Bautz, se
n=5 la generalizzazione di cui stiamo
parlando non è sempre valida.
Infatti, prendiamo questi cinque numeri
positivi:

$\frac {1}{20},\,\frac {1}{10},\,\frac {3}{20},\,\frac {3}{10},\,\frac {2}{5}$.

Vediamo che:

$\frac {2}{5}+\frac {3}{10}+\frac {3}{20}+\frac {1}{20}+\frac {1}{10} = 1$.

Calcoliamo, ora, la somma seguente:

$\frac {2}{5}\cdot \frac {3}{10}+\frac {3}{10}\cdot \frac {3}{20}+\frac {3}{20}\cdot \frac {1}{20}+\frac {1}{20}\cdot \frac {1}{10}+\frac {1}{10}\cdot \frac {2}{5}= \frac{87}{400}$

che è senz'altro maggiore di $\,\frac 1 5$.

(Gaspero, scusami se stavo facendoti
perdere del tempo.)

A presto!


Bruno

[bautz]

Touchè!
Grazie Bruno e infinito
La mia supposizione è sbagliata...mhm...vediamo se si riesce a stabilire il valore massimo che può assumere la sommatoria in funzione dei k numeri...

[bautz]

Posso dire che quel tipo di somma di
prodotti non superi mai ¼

Hai ragione, per ogni k non supera 1/4, e in oltre per ogni k può essere 1/4 (o meglio ci tende) (intendevi anche questo?).
Infatti per k numeri, se ne prendo 2 che tendono a 1/2 (intendo 1/2 meno un infinitesimo) e gli altri tendenti a 0 positivo (cioè zero più un infinitesimo), la somma x1*x2+x2*x3+...+xk*x1 può essere al max 1/4 (1/2 * 1/2).
Ma il massimo dunque per k numeri è 1/4?
(escluso k=3, che abbiam visto è 1/3 ovviamente)

Che a ben guardare mi sembra proprio la stessa cosa che aveva scritto infinito!
Perdonami infinito se nella fretta non l'ho capita subito

[Bruno]

...yesss
In effetti, è proprio così.

[infinito]

Sì, era più o meno quello che intendevo, ma a questo punto mi vengono da fare alcune considerazioni:

1- Vedo gli orari delle vostre risposte, e leggo che non sono l'unico a postare ad orari improbabili.

2-Ci ripenso e mi pare che qualche orologio non funzioni, anche se gli orari rimangono improbabili.

3- Pare che per n=3 il massimo della somma di cui al primo problema si abbia quando tutti e tre i valori per cui la somma è uno sono uguali (tutti e tre uguali a 1/3).
Per n>4, invece, si è visto che il massimo è ¼, che corrisponde alla “massima diversità”, nel senso che 2 valori sono pari ad ½ e gli altri sono nulli.
Per n=4 si ha il valore massimo (1/4) nel caso in cui si ha la massima diversità, ma, a seconda del numero degli addendi della sommatoria, anche se si hanno 4 valori uguali.
Mi chiedo quindi il motivo “profondo” di questa apparente stranezza. Anzi: “vi” chiedo.

4- (i concetti che seguano sono espressi male e risultano poco chiari. Mi scusso, ma meglio non sono riuscito a fare.) Forse ho trovato la generalizzazione richiesta. Mi fa “strano” che nella sommatoria, il cui valore Bruno ha dimostrato essere non superiore ad 1/4, si debba specificare l'ordine con cui si considerano i fattori degli addendi, se non voglio ottenere risultati diversi (cosa che con tre valori non capitava). Mi spiego con un esempio: se ho due valori uguali ad 1/2 e tutti gli altri nulli, ottengo 1/4 solo se moltiplico fra loro i due non nulli, se invece non lo faccio ottengo una somma nulla.
Quindi cerco una funzione che d ogni n-pla di valori non nulli v(1), (0<i<n+a) tali che la loro somma sia uguale ad 1, assegni un solo valore.
Tal valore lo posso definire come segue: per ogni sequenza v(1) di n numeri definisco g(v(i)) in questo modo: g(v(i))=(prodotto v(n)·v(1)) + somma dei prodotti v(i)·v(i+1) con 0<i<n); per ogni permutazione p(i) degli n numeri (cioè funzione che “riordina” gli n numeri) definisco g(v(p(i))); finalmente definisco f(v(i)) come il minimo valore di g(v(p(i))), al variare di tutte le p(/i).
allora la congettura di bautz risulta corretta, ed il massimo delle f(v) si ha quando tutti i valorei delle v sono uguali. (Non l'ho dimostrato, ma lo credo per intuizione.)

Allora per mantenere un valore che non dipenda dall'ordine posso provare a definire una funzione che ad ogni n-pla di valori non nulli v(1), 0<i<n+a, tali che la loro somma sia uguale ad 1, assegni un solo valore; per esempio posso associare ad ogni n-pla il minimo della somma dei prodotti “sequenziali”, al variare di tutte le “sequenze” dei numeri (cioè se io, con una permutazione ordino i v(1) in un certo ordine, permutando posso fare la somma prodotti v(i)·v(i+1) con 0<i<n e del prodotto v(n)·v(1)) )

[Bruno]

...

Ciao, Gaspero.
Le tue considerazioni formano in parte alcuni
miei pensieri stimolati dall'argomento.
Spero di riuscire a scrivere quelle due o tre cose
che credo di aver focalizzato, anche se sono
piuttosto impegnato.
Vediamo...
Intanto ti ringrazio per i tuoi spunti preziosi!

Bruno