PROBLEMA PERIODICI

[peppe]

O.K. Grazie Bruno!

[...]Ricordi la formula per passare dalla notazione "periodica decimale" alla notazione frazionaria? e viceversa, ovviamente[...]

delfo52.
L'ho imparata pappagallescamente ( come si usava fare...) moltissimi anni or sono,e la ricordo ancora. Ma ricordo pure la soddisfazione che provai,il giorno in cui,ospite di una mia cognata,per pura curiosità mi misi a sfogliare il libro di matematica adottato al Liceo Classico, frequentato (per ben 7 anni! come facciatostamente si vanta...) da suo figlio:mio nipote "Palmer".
Conservo ancora il foglietto a quadretti siglato P.354-Palmer,sul quale ho trascritto il metodo che spiega la regola delle frazioni generatrici.
I testi di matematica superiore,di solito, non dedicano spazio all'argomento frazioni generatrici, perché ,normalmente, si insegnano alle scuole medie per cui si dà per scontato che l'alunno conosca già la regoletta.
E infatti l'argomento non trattava le frazioni bensì i limiti.
L'autore del libro infatti,spiegava una semplice applicazione, della formula relativa al limite tendente ad infinito,della somma (Sn) di una generica progressione geometrica:
$a_1, a_2, a_3...a_{n-1}, a_n$ di ragione (q),che come ben sapete è :

$\lim_{x\to\infty} S_n$ = $\frac{a_1}{1-q}$ (1)

Esempio 1° caso:
Consideriamo il n.d.p. 0,(26),esso può essere scritto così:
0,(26) = 0,262626262626...=0,26+0,0026+0,000026... (2)

0,26 = $\frac{26}{100}$=
0,0026 = $\frac{26}{10000}$ = $\frac{26}{100^{2}}$
0,000026 = $\frac{26}{1000000}$= $\frac{26}{100^{3}}$

Riscrivendo la somma (2) con gli addendi sotto forma di frazione:

0,(26) = $\frac{26}{100}$+$\frac{26}{100^{2}}$+$\frac{26}{100^{3}}$...

si osseva che,gli stessi formano una progressione geometrica, in cui il primo termine è:

$a_1$=$\frac{26}{100}$

e la ragione : q =$\frac{1}{100}$

Applicando la (1) avremo:
$\lim_{x\to\infty} S_n$ = $\frac{\frac{26}{100}}{1-\frac{1}{100}}$=

=$\frac{\frac{26}{100}}{\frac{100-1}{100}}$=

=$\frac{\frac{26}{100}}{\frac{99}{100}}$=

=$\frac{26}{100}$*$\frac{100}{99}$=

=$\frac{26}{99}$
c.v.d.

Segue 2° caso (parte intera diversa da 0).

[peppe]

2° Caso
Consideriamo il n.d.p.s. 3,(26)
La regoletta relativa alla frazione generatrice del numero decimale periodico semplice ,se non ricordo male,recita :
il numeratore della frazione è dato dalla differenza tra il numero scritto ignorando la virgola,meno la parte intera. Il denominatore è composto da un numero di cifre 9 pari al numero delle cifre del periodo

Nel nostro caso sarà:$\frac{326-3}{99}$ = $\frac{323}{99}$.

3,(26) = 3+(0,26) siccome la frazione generatrice di 0,(26),come abbiamo visto nel 1° esempio è:
$\frac{26}{99}$

avremo:

3,(26) = 3+$\frac{26}{99}$ =

= $\frac{{3*99}+{26}}{99}$ =

= $\frac{{{3}*{(100-1)}}+{26}}{99}$ =

= $\frac{{300-3}+{26}}{99}$ =

= $\frac{326-3}{99}$ = $\frac{323}{99}$ c.v.d.

Ora,sono io il primo a fare osservare,che un ragazzino di prima media,disconosce l'esistenza sia delle progressioni e sia dei limiti.
E siccome gli studenti,per me,si dividono in due categorie:quelli che hanno voglia d'imparare e quelli che frequentano la scuola solo perché è obbligatoria,mi chiedo: come dovrà comportarsi un prof di scuola media di fronte alla richiesta di un ragazzino che non intende imparare pappagallescamente la regoletta?
Gli risponderà "ti sarà chiarita quando studerai i limiti", oppure escogiterà un metodo chiaro e convincente?

In fondo,correggetemi se sbaglio,la matematica è bella proprio perché ,a differenza di tante altre materie, non si può imparare a memoria pappagallescamente.

Scusate se l'ho tirata un po' troppo per le lunghe.
Ciao peppe.
--
N.B.
In chiusura,mi sto chiedendo,e se il numero anziché d.p.s. è decimale periodico misto,tipo 3,2(26)?
La regola,se non sbaglio,conduce alla frazione:

$\frac{{3226}-{32}}{990}$

Sul libro questo 3° caso non c'era.

[peppe]

Ho consultato due libri di aritmetica un po' datati: uno del 1997 l'altro del 1992.
Gli autori del primo,quello più "recente" del 1997, all'argomento frazione generatrice di un numero decimale, fanno questa premessa

[...] Il problema della ricerca della generatrice di un numero decimale limitato, è già stato risolto. Per i numeri decimali periodici semplici e misti,la ricerca della generatrice si effettua mediante le seguenti regole che ci limitiamo ad enunciare, poiché la loro giustificazione risulterebbe alquanto complessa[...].

Gli autori del secondo libro, quello più vecchiotto, invece, la giustificano così:
[...]
Consideriamo il numero decimale periodico $1,(3)$ e indichiamo con la $x$ la frazione generatrice cercata, cioè la frazione equivalente al numero decimale periodico $1,3333...$
Scriviamo allora:

$x = 1,3333...$ (1)

Moltiplichiamo entrambi i mebri dell'uguaglianza per $10$

$10*x = 1,3333...*10$

sottraiamo da entrambi i membri il numero considerato $1,3333...$ [che per la (1) è = x]

$10 x - x = 13,333... - 1,333...$
e otteniamo:

$9x = 12$

da cui ricaviamo:

$x = \frac{12}{9}$

Questo procedimento così' macchinoso ha lo scopo di eliminare il periodo dai calcoli
[...]
Francamente , a questa operazione chirurgica di calcolosi in emergenza, preferisco l'onestà degli autori del primo libro. Infatti la spiegazione non mi convince.

L'esempio, riportato su quel libro di matematica del Liceo Classico, (notare la sottolineatura...) , non è poi così banale come , erroneamente,di primo acchitto potrebbe sembrare.

[Ivana]

...[...]

Questa è una cosa a cui non crede più nessuno, Peppe,
nemmeno i nuovi arrivati

Ciao e a presto!

Bruno

Condivido pienamente!!!
Avete letto il libro di Rózsa Péter, «GIOCANDO CON L’INFINITO – Matematica per tutti »?: http://www.maecla.it/bibliotecaMatemati ... /PETER.htm
In tale libro è descritto l' interessante esempio della cioccolata, per esprimere il significato della somma di una serie infinita;
a tal proposito avevo preparato, lo scorso anno, alcune slides visionabili al seguente indirizzo web:
http://www.maecla.it/bibliotecaMatemati ... finita.ppt

Cari saluti a tutti

[Bruno]

...

Ciao, Ivana, e ben tornata
Grazie mille per il libro che hai segnalato!

Bruno

[Info]

Pensavo ad una risposta del genere per Peppe:

se ho 3,2(212), ho in pratica 32,(212)/10.... elimino l'antiperiodo moltiplicano per 10^(numero di cifre dell'antiperiodo), e dividendo per la stessa cifra per mantenere l'uguaglianza.

[delfo52]

proprio qualche giorno fa, quando qualcuno aveva "redarguito" chi aveva osato chiamare "retto" il triangolo, mi ero chiesto che fine avesse fatto la "maestra della precisione"; epiteto che mi sgorga pieno di affetto, sia ben chiaro !
Adesso lo sappiamo: ci stava controllando di nascosto !

Ottima la tua presentezione!

[peppe]

[...]mi ero chiesto che fine avesse fatto la "maestra della precisione" (*) [...]Adesso lo sappiamo: ci stava controllando di nascosto !

delfo52

Abbiamo scoperto che fa... la vigilantessa.

Comunque,oltre ad essere bravissima (vedi presentazione) è anche generosa,specialmente con peppe,come dimostra la sua esclamazione:

Condivido pienamente!!!

(*)Caro delfo, sicuramente ricorderai il ritornello "sul qui e sul qua accento non va".
Bene,grazie a una "tiratina d'orecchie" della "nostra" ,di diversi anni fa,io l'ho modificato così:

l'accento non va / sul qui e sul qua / e neppure sul FA...

+++
RingrazioInfo per la spiegazione.
Ho trovato conferma anche a pagina 15 del libro "Corso di Analisi Matematica", di G.C. Barozzi della Zanichelli,dove viene mostrata la tecnica per la costruzione della frazione generatrice.

A chi si meraviglia del fatto che un testo universitario , dedichi spazio a numeri decimali,frazioni ecc,basta leggere la premessa dell'Autore, al capitolo I del libro : Numeri Reali:
[...]
"I numeri reali sono il materiale di costruzione dell'analisi matematica:come un artigiano deve conoscere alla perfezione le proprietà del materiale che usa per la realizzazione di un'opera,così chi si appresta allo studio dell'Analisi deve innanzitutto rivedere e approfondire la propria conoscenza dei numeri reali. Alcune nozioni che daremo dovrebbero essere già note dai primi anni delle scuole superiori,altre forse sono nuove,o comunque sono state dimenticate."
[...]
Le evidenziature in grassetto sono mie...

[peppe]

E ora,per restare ancora terra-terra come piace a me,pongo un quesito,che ho "pescato navigando" sul web:

È possibile calcolare a mente la divisione 4 / 998, in pochissimi secondi,e con una precisione che farebbe invidia a una calcolatrice. Come si fa?

[delfo52]

quando al dividendo abbiamo solo una cifra diversa da zero, siamo sicuri che il gioco dei resti non presenta nè presenterà problemi (tutti zeri!)
quando il divisore è "quasi unitario", o come nel caso in esame manca di 2 la "millità", sappiamo che ciclicamente il resto del dividendo, cioè il nuovo dividendo è pari pari il doppio del precedente dividendo che ha dato esito diverso da zero. Con quale periodicità ? a triplette, per via del fatto che 998 ha tre cifre.
Non so spiegarlo in termini aritmetici, ma è il meccanismo che uso io.
Per cui, dopo 004, avremo 008, 016, 032 e finchè non si arriva a numeri di oltre tre cifre, il gioco è fatto
SE&O

[peppe]

[...]il nuovo dividendo è pari pari il doppio del precedente dividendo che ha dato esito diverso da zero. Con quale periodicità ? a triplette, per via del fatto che 998 ha tre cifre.[...]

delfo52.

E infatti il risultato è:0,004 008 016 032 064 128 256 513 026…

Un risultato che fa impallidire la mia supercalcolatrice SHARP EL-9300 che lo tronca dopo solo 9 misere cifrette. Infatti mi fornisce questo risultato:
4/998 = 004 008 016 ...

Le ultime due triplette sono state evidenziate di proposito, perché
256*2=512 e non 513 ; 513*2 = 1026 e non 026. Come mai?

[...]Non so spiegarlo in termini aritmetici[...]

delfo52

Allora aspettimo che qualcuno ci fornisca una dimostrazione, per vedere se è diversa e migliore di quella da me conosciuta.

[delfo52]

Peppe...
non fare finta di non sapere metter in colonna numeri di tre o quattro cifre....

[Bruno]

È possibile calcolare a mente la divisione 4 / 998, in pochissimi secondi,e con una precisione che farebbe invidia a una calcolatrice. Come si fa?

Ops... non so se riuscirei a fare il calcolo a mente, e per di più
in pochissimi secondi, senza un foglio di carta e una penna...
funzionante!
Comunque, andando dietro al discorso di Enrico, la tua frazione
è la somma dei termini infiniti di una progressione geometrica,
dal momento che si può scrivere così:

$\frac{4}{998} = \frac{2^{\script 2}}{10^{\script 3}}+\frac{2^{\script 3}}{10^{\script 6}}+\frac{2^{\script 4}}{10^{\script 9} }+...+\frac{2^{\script n+1} }{10^{\script 3n} }+... = \frac{4}{10^{\script 3}}\cdot \frac{1}{1-\frac{2}{10^{\script 3}}}$.

Questo significa che nella parte decimale, come dice appunto
Enrico, incontro gruppi di tre cifre che contengono una porzione
delle successive potenze di 2. Fino a 256, mi basta trascriverle:

0, 004 008 016 032 064 128 256

dopo, invece, ogni potenza eredita le cifre di quella successiva
fino alla quart'ultima:

... 512 (1)024 (2)048 (4)096 (8)192 (16)384 (32)768 ...

quindi:

... 513 026 052 104 208 416 ...

Ma forse tu hai qualcosa di meglio

Sai, ho comprato il libro di Ian Stewart e lo trovo incantevole!
Sabato pomeriggio sono andato in libreria proprio per prendere
quello e son tornato a casa con altri due libri, che erano di fianco
al volume di Stewart (anch'essi editi da Boringhieri).
Uno è "La prova matematica dell'esistenza di Dio" di Kurt Gödel.
Avevo già sentito parlare di questo scritto di Gödel e non me lo
sono lasciato sfuggire.
Mentre l'altro mi ha colto di sorpresa, dal momento che l'edizione
che conoscevo (consultata in biblioteca) risale a 1959: si tratta
delle "Osservazioni su Diofanto" di Pierre de Fermat. Mi ha fatto
molto piacere (ri)trovarmi davanti a quelle affascinanti annotazioni,
a quei primi fiotti del ramo della Matematica che oggi indichiamo
con Teoria dei Numeri.
Non sapevo che fosse stato ripubblicato.
E' proprio vero: un libro tira l'altro...
A presto!



Bruno

[peppe]

... 512 (1)024 (2)048 (4)096 (8)192 (16)384 (32)768 ...

Bruno. O.K!

Chiarissima pure la spiegazione,anche se sei partito dal risultato.

E ora,per correttezza, citiamo la fonte. Potete trovare la soluzione in formato pdf,qui:
http://www.math.it./

In fondo al riquadro di sinistra,sezione Contributi proposti dai visitatori.

Cliccate sul contributo di Eugenio Amitrano dal titolo:

un metodo alternativo per il calcolo delle divisioni, utile in special modo per il calcolo mentale veloce.

Per fare allenamento,ho tradotto col Tex il breve articolo dell'autore,che copio nel post successivo,per coloro che fossero interessati.
Segue-->

[peppe]

CALCOLO ALTERNATIVO PER LE DIVISIONI
INTRODUZIONE:
E’ possibile calcolare una qualsiasi divisione $\frac{x}{y}$ utilizzando un metodo alternativo, il quale comporta una convenienza di utilizzo per il calcolo a mente se $x$ è molto piccolo (o facilmente moltiplicabile) e $y$ è prossimo alle potenze di $10$ ed è maggiore di $x$. Ad esempio è possibile calcolare a mente la divisione $\frac{4}{998}$ in pochissimi secondi e con una precisione che farebbe invidia a numerose calcolatrici in commercio.
DESCRIZIONE
Prima di tutto abbiamo bisogno di tre elementi:
una base (B),
un passo (P)
e un moltiplicatore (M).

1) la base B corrisponde alla $x$
2) il passo ad un valore $k$ che soddisfa la seguente condizione d’appartenenza:$y \in[10^{k-1}\,10^{k}]$
quindi corrispondente al numero delle cifre di $y$.
3) il moltiplicatore a $10^{k}-y$

$B = x$
$P=k$ con $y \in[10^{k}\ ,10^{k-1}]$

$M =10^{k}-y$

Una volta trovati questi tre elementi si applica la seguente formula:

$\frac{x}{y} = \sum_{i=0}^{n} \frac{(B*M^{i})}{10^{P(i+1)}$

ESEMPIO
Occorre un esempio per comprendere meglio le agevolazioni di questo metodo nei casi citati nell’introduzione (se $x$ è molto piccolo (o facilmente moltiplicabile) e $y$ è prossimo alle potenze di $10$ ed è maggiore di $x$).

Utilizziamo la divisione:

$\frac{x}{y} = \frac{4}{998}$

$B = 4 ;(x = 4)$

$P = 3$; (y è di tre cifre)

$M =10^{3}-998 = 2$


Il risultato è composto da una parte intera sempre uguale a

$0 \ (x < y)$

e da una parte decimale composta da una serie di termini a P cifre dove il primo termine è B e i successivi sono dati dal precedente moltiplicato per M.

Attenzione!! Se il termine della serie dovesse superare le P cifre, la cifra di eccedenza si riporta al termine calcolato precedentemente.

Nel caso del nostro esempio i termini della serie sono:
004 (primo termine = B), a seguire 008 (004 * M ; M = 2; 004 * 2),016 (008 * 2), 032,064,128,256,512,1024,2048, …

Quindi il nostro risultato è 0,004008016032064128256513026…
Il 1024 riporta 1 a 512 diventando così 513 e 024 e a quest’ultimo va sommato il riporto di 2 del 2048 ecc...

APPLICAZIONI
Oltre al calcolo mentale rapido dei casi sopra citati, questo metodo può essere impiegato in ambito informatico per ottenere un’elevata precisione nel calcolo delle divisioni.

Eugenio Amitrano

Puff!!! Che fatica questo TEX!
Io mi chiedo come fa panurgo,a scrivere quelle espressioni da capogiro,tipo...

$C = \underbrace {{{8m} \choose 4} {{8m - 4} \choose 4} \cdots {4 \choose 4}}_{2m} = \frac {\left( 8m \right)!} {4!^{\script 2m}}$

$p \left( h | k \, m \, I \right) = \frac {C \left( B \right) C \left( S \right)} C = \frac {{{4m + k} \choose {k - h}} {{4m + k} \choose {k + h}}} {{{8m + 2k} \choose {2k}}}$

Una roba ...vertiginosa! Boh!!