delfo52.[...]Ricordi la formula per passare dalla notazione "periodica decimale" alla notazione frazionaria? e viceversa, ovviamente[...]
L'ho imparata pappagallescamente ( come si usava fare...) moltissimi anni or sono,e la ricordo ancora. Ma ricordo pure la soddisfazione che provai,il giorno in cui,ospite di una mia cognata,per pura curiosità mi misi a sfogliare il libro di matematica adottato al Liceo Classico, frequentato (per ben 7 anni! come facciatostamente si vanta...) da suo figlio:mio nipote "Palmer".
Conservo ancora il foglietto a quadretti siglato P.354-Palmer,sul quale ho trascritto il metodo che spiega la regola delle frazioni generatrici.
I testi di matematica superiore,di solito, non dedicano spazio all'argomento frazioni generatrici, perché ,normalmente, si insegnano alle scuole medie per cui si dà per scontato che l'alunno conosca già la regoletta.
E infatti l'argomento non trattava le frazioni bensì i limiti.
L'autore del libro infatti,spiegava una semplice applicazione, della formula relativa al limite tendente ad infinito,della somma (Sn) di una generica progressione geometrica:
$a_1, a_2, a_3...a_{n-1}, a_n$ di ragione (q),che come ben sapete è :
$\lim_{x\to\infty} S_n$ = $\frac{a_1}{1-q}$ (1)
Esempio 1° caso:
Consideriamo il n.d.p. 0,(26),esso può essere scritto così:
0,(26) = 0,262626262626...=0,26+0,0026+0,000026... (2)
0,26 = $\frac{26}{100}$=
0,0026 = $\frac{26}{10000}$ = $\frac{26}{100^{2}}$
0,000026 = $\frac{26}{1000000}$= $\frac{26}{100^{3}}$
Riscrivendo la somma (2) con gli addendi sotto forma di frazione:
0,(26) = $\frac{26}{100}$+$\frac{26}{100^{2}}$+$\frac{26}{100^{3}}$...
si osseva che,gli stessi formano una progressione geometrica, in cui il primo termine è:
$a_1$=$\frac{26}{100}$
e la ragione : q =$\frac{1}{100}$
Applicando la (1) avremo:
$\lim_{x\to\infty} S_n$ = $\frac{\frac{26}{100}}{1-\frac{1}{100}}$=
=$\frac{\frac{26}{100}}{\frac{100-1}{100}}$=
=$\frac{\frac{26}{100}}{\frac{99}{100}}$=
=$\frac{26}{100}$*$\frac{100}{99}$=
=$\frac{26}{99}$
c.v.d.
Segue 2° caso (parte intera diversa da 0).