PROBLEMA PERIODICI

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

IlGuista
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PROBLEMA PERIODICI

Messaggio da IlGuista »

ECCO UN PROBLEMINO SEMPLICE che non riesco a motivare

Allora 1/9 = 0,1(periodico)

ma come mai

1/9 * 9 = 1 mentre 0.1(periodico) * 9 = 0.9(periodico)
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delfo52
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Messaggio da delfo52 »

a quanto mi ricordo,
0,999999999periodico è uguale a 1
per cui non c'è più nessuna incongruenza.
E' inutile: quando, di riffa o di raffa, ci si mette di mezzo un qualche cosa che ha a che fare con l'infinito, c'è sempre qualcosa "che tocca".
Ma non bisogna pensare che ciò sia un male: da qualche millennio le migliori menti dei migliori filosofi-matematici-teologi-logici ci sbattono le corna; e senza dubbio questo fatto è uno dei motivi per cui possiamo dire che l'uomo, per quanto possa apparire molto simile alle bestie, resta anche infinitamente diverso dalle stesse....
Enrico

bautz
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Messaggio da bautz »

No, in realtà 0,9 periodico fa sempre 1.
Certe calcolatrici poco scientifiche, o anche la calcolatrice di qualche Mac, dà questo errore.
Anzi, 0,9 periodico si può dire che non esista. E che esiste l'1 al suo posto.
O meglio, dire 0,9 periodico o dire 1 è come dire la stessa cosa.
0,9 periodico è un diverso modo di scrivere 1.

Cioè:
0,\overline{9} = 1 - 0,1^{\infty}
Ma dato che
0,1^{\infty} tende a 0
Ho che
1 - 0,1^{\infty} tende a 1

Se vuoi semplificarti il problema, quando ti trovi di fronte ad una serie periodica la cui ultima cifra che si ripete costante è 1 puoi sostituire la sfilza di 9 con un 1 (x 10 ovviamente).
la matematica è un opinione

IlGuista
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Messaggio da IlGuista »

ma quindi giustificate questa cosa solo perchè lo 0.9999999 tende a 1 ?
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delfo52
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Messaggio da delfo52 »

non è che "tende" , è .
Ricordi la formula per passare dalla notazione "periodica decimale" alla notazione frazionaria? e viceversa, ovviamente...
Al numeratore il numero scritto senza virgola fino al periodo (compreso), sottratto di tutto quello che c'è prima del periodo (parte intera e antiperiodo).
Al denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo seguiti da tanti "zero" quante sono le cifre dell'antiperiodo.
Esempio (uso un caso diverso da quello proposto per metterci l'antiperiodo):
1,499999...
1,49 (nove periodico
Numeratore: 149-14 = 135
Denominatore: 90
135/90 = 1,5
Enrico

Alan
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Messaggio da Alan »

Una delle "prove" più interessanti mi sembra possa essere questa:

L'insieme dei numeri reali è denso, cioè tra due numeri reali distinti ne esiste sempre un altro. Ora, se 0.9 periodico e 1 fossero distinti, esisterebbe un numero compreso tra i due. E io vi sfido a trovare questo numero... :wink:



Alan

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Messaggio da IlGuista »

quindi si può dimostrare che 0.9 è uguale a 1?
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bautz
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Messaggio da bautz »

Alan ha scritto:L'insieme dei numeri reali è denso, cioè tra due numeri reali distinti ne esiste sempre un altro. Ora, se 0.9 periodico e 1 fossero distinti, esisterebbe un numero compreso tra i due. E io vi sfido a trovare questo numero...
Bè, questa mi pare una gran bella dimostrazione :)
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IlGuista
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Messaggio da IlGuista »

ehmmmmm non ho capito come dimostrarlo però che 0.999999... e 1 sono uguali
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Bruno
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Messaggio da Bruno »

IlGuista ha scritto:ehmmmmm non ho capito come dimostrarlo però che 0.999999... e 1 sono uguali
Ciao, IlGuista :wink:
Ritengo che Enrico (Delfo) sia stato molto chiaro
e penso che anche gli altri interventi siano stati
azzeccati.
Vorrei portarti a quell'identità in questo modo.
Diciamo che m=0,999..., in cui immaginiamo che
il 9 si ripeta un numero infinito di volte.
Prendiamo adesso 10m e cioè 10m=9,999....
Anche qui abbiamo infiniti 9 dopo la virgola, come
nel caso di m, e pertanto i 9 sono ugualmente
infiniti.
A questo punto, vediamo che:
10m-9=0,999...
per cui:
10m-9=m
ma ciò significa che:
m=1
e quindi:
m=1=0,999....
Il ragionamento funziona proprio perché supponiamo
che dopo la virgola ci siano infiniti 9.
Cosa ne dici, ora?

(Bruno)
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IlGuista
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Messaggio da IlGuista »

ho capito..... :D
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peppe
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Messaggio da peppe »

[...]Cosa ne dici, ora?[...]
Bruno
Io,che di matematica non ne capisco un'acca,ma che mi affascinano le piegazioni chiare e semplici,ti rispondo con una citazione,tratta da una recentissima recensione di Federico Peiretti ,dal significativo titolo:
Insegna a ragionare bene e ad esporre con chiarezza ,relativa al libro:

Com'è bella la matematica. Lettere a una giovane amica.
di Ian Stewart trad. di Benedetta Antonielli - Bollati Boringhieri -pp. 158, €17

«Ciò che conta non è la soluzione in sé, ma sapere come cercarla»

Non sono io a dirlo,anche se condivido pienamente,bensì l'autore del libro:
Ian Stewart, docente di matematica all'Università di Warwick, il principe dei divulgatori.Collabora a «New Scientist» e a «Scientific American».

Insomma,è questione di metodo non di calcolo.

In questo stesso topic,per spiegare lo steso argomento,ho letto approcci e metodi diversi. Però,solo due,dal mio punto di vista (questione di gusti...),hanno saputo cogliere nel segno:l'intuizione di Alan e il tuo piacevole passo-passo(*),tipo listato Basic , che adoro perché adatto a chi è duro di comprendonio come me. :lol: :lol:
Ma torno a ripetere,senza nulla voler togliere alle altre spiegazioni,è una pura e semplice questione di gusto.

Bravissimi!! Ciao peppe.
--
(*) [Chi ha dimistichezza con le riviste per computer,sa bene che è il metodo preferito da diversi autori di informatica]
Peppe

Bruno
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Messaggio da Bruno »

...

Grazie, Peppe, del tuo apprezzamento!
L'idea della mia proposta, naturalmente, circola da molti
anni negli ambienti della didattica e della divulgazione
matematica (non saprei dirti dove l'ho letta, però, né come
fosse descritta).
Grazie anche per il libro che ci hai segnalato, che alla prima
occasione acquisterò.
peppe ha scritto: Io,che di matematica non ne capisco un'acca (...)
Questa è una cosa a cui non crede più nessuno, Peppe,
nemmeno i nuovi arrivati :D

Ciao e a presto!

Bruno
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peppe
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Messaggio da peppe »

Bruno,non solo sei bravo ma anche buono,anzi direi magnanime,quando affarmi candidamente:

«[...]Questa è una cosa a cui non crede più nessuno, Peppe,
nemmeno i nuovi arrivati
[...]».

Posso solo dirti,senza con questo contraddirmi,ne peccare di falsa modestia,che quel poco di matematica che ho studiato all'ITIS quasi 40 anni fa,la coltivo ancora.Soprattutto gli argomenti che si studiano sino al 3° anno.
Quando poi si comincia a parlare di limiti,integrali e compagnia cantando,le cose cambiano perché a suo tempo ,questi argomenti furono affrontati in modo molto superficiale e lacunoso. Certe lacune lasciano il segno e difficilmente si colmano,se non si prosegue negli studi.

Ora,per farti "perdonare" dagli amici del forum,per quello che hai scritto :lol: per "penitenza",siccome sono fuori allenamento,ti chiedo scrivere col codice tex,queste formule:

26/[(100)^3]
[(26/100)]/[(1-(1/100))]
[(26/100)]/[(100-1)/100]

Non tenere conto delle parentesi,che ho inserito solo per meglio rendere l'idea di frazione di frazione...dopo capirai il perché della richiesta. Non farmi attendere molto :lol: grazie.peppe
Peppe

Bruno
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Messaggio da Bruno »

...

Eccomi a Te(X), Peppe :D


La prima: \;26/[(100)^3]

\frac{26}{100^{3}}

Codice: Seleziona tutto

[tex]\frac{26}{100^{3}}[/tex]

La seconda: \;[(26/100)]/[(1-(1/100))]

\frac{\frac{26}{100}}{1-\frac{1}{100}}

Codice: Seleziona tutto

[tex]\frac{\frac{26}{100}}{1-\frac{1}{100}}[/tex]

La terza: \;[(26/100)]/[(100-1)/100]

\frac{\frac{26}{100}}{\frac{100-1}{100}}

Codice: Seleziona tutto

[tex]\frac{\frac{26}{100}}{\frac{100-1}{100}}[/tex]
peppe ha scritto:...dopo capirai il perché della richiesta.
...ti aspetto :wink:


Bruno
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