Una breve pausa fra una partita e l'altra....

[Bruno]

...

Su due piedi (anzi, uno) dimostrare che l'equazione:

$x^{\small 4}+12x-5=0$

ammette due radici la cui somma è 2.


Bruno

[bautz]

Ma caspita!
Andando a naso ho trovato
$x = \sqr{2}-1$ e $x = -\sqr{2}-1$,
ma sono le 2 radici che sommate danno -2!!!
Mi mancano proprio le altre due che sommate danno 2.
E comunque non ho dimostrato un bel niente, lo so

[Giorgio]

Sostituendo alternativamente $x1$ ed $x2$ (non so fare il pedice) otteniamo:


$x1^4+12*x1-5=0$

$x2^4+12*x2-5=0$

sommando le due equazioni si ha:

$x1^4+x2^4+12*(x1+x2)-10=0$

e quindi (ricordando che $x1+x2=2$) avremo:

$x1^4+x2^4=-14$

quindi se esistono non sono reali (più di qui non arrivo su un piede)

[bautz]

quindi se esistono non sono reali

Si, la conferma l'ho cercata col grafico:

E io di numeri non reali non ci capisco un tubo

Ma se i due numeri da cercare non sono reali, e la loro somma dà 2, vuol dire che da 2 numeri non reali può nascere un numero reale...
Sono sconcertato.

Scherzi a parte, la somma di 2 numeri non reali può dare davvero un numero reale?

[Giorgio]

si ma la somma delle soluzioni reali non è 2, e cmq fai i grafici su un piede???

[bautz]

No no, su un piede ho tirato fuori solo le 2 radici che sommate danno -2, come ho scritto sopra. (ma appunto nemmeno le ho dimostrate ).
E altrettanto a naso non mi risultavano altri numeri reali che rispondessero al quesito.
Allora spinto dalla volontà di sapere ho fatto il grafico, tanto per passare la serata in pace senza arrovellarmi...

Ma ripeto che il quesito chiede di dimostrare, ma io non ho dimostrato un tubo (l'ho scritto ancora nel 1° messaggio!), anzi complimenti per aver risolto, e dimostrato, i 3/4 del problema su un piede! Io ho risolto 0!

nota:
Se in questo forum bisogna rispondere ad un topic solo quando si ha la soluzione certa ditemelo.
Ma a me sembra carino che ognuno posti anche le proprie considerazioni personali se non riesce a risolvere il problema. Mi sembra che funzioni così.
Siamo quà per imparare no? (io si!) O per fare una gara?

[Quelo]

Le soluzioni sono 1+2i e 1-2i ma non ho idea di come si faccia a dimostrarlo su due piedi.

[Giorgio]

Scusami Bautz, mi dimentico sempre a mettere un po' di emoticons

non volevo essere duro

[panurgo]

Le soluzioni sono 1+2i e 1-2i ma non ho idea di come si faccia a dimostrarlo su due piedi.

dobbiamo dimostrare che

$\left \{ \left( {x^{\script 2} + ax + b} \right)\left( {x - \alpha } \right)\left( {x - \beta } \right) = x^{\script 4} + 12x - 5 \\ \alpha + \beta = 2 \right.$

sviluppiamo il membro sinistro

$\left( {x^{\script 2} + ax + b} \right) \left( {x^{\script 2} - 2x + \alpha \beta } \right) = x^{\script 4} + 12x - 5 \\ x^{\script 4} + \left( {a - 2} \right)x^{\script 3} + \left( {b - 2a + \alpha \beta } \right)x^{\script 2} + \left( {a\alpha \beta - 2b} \right)x + b\alpha \beta = x^{\script 4} + 12x - 5$

uguagliamo i coefficienti dei polinomi

$\left\{ \left( {a - 2} \right) = 0 \\ \left( {b - 2a + \alpha \beta } \right) = 0 \\ \left( {a\alpha \beta - 2b} \right) = 12 \\ b\alpha \beta = - 5 \\ \alpha + \beta = 2$

e risolviamo il sistema

$\left\{ a = 2 \\ b = - 1 \\ \alpha \beta = 5 \\ \alpha + \beta = 2 \right.\quad \Rightarrow \quad \left\{ a = 2 \\ b = - 1 \\ \beta = 2 - \alpha \\ \alpha ^{\script 2} - 2\alpha + 5 = 0 \right.\quad \Rightarrow \quad \left\{ a = 2 \\ b = - 1 \\ \alpha = 1 + 2i \\ \beta = 1 - 2i \right.$

le quattro radici sono

$\left\{ \alpha = 1 + 2i \\ \beta = 1 - 2i \\ \gamma = - 1 + \sqrt 2 \\ \delta = - 1 - \sqrt 2 \right.$

[bautz]

Wow!
Impeccabile

[Bruno]

...

Bravi tutti!
I post che vi siete scambiati mi son sembrati
molto simpatici e mi hanno fatto sorridere (chi
ben comincia è a metà dell'opera - penso alla
settimana appena iniziata...).

Se in questo forum bisogna rispondere ad un topic solo quando si ha la soluzione certa ditemelo.
Ma a me sembra carino che ognuno posti anche le proprie considerazioni personali se non riesce a risolvere il problema. Mi sembra che funzioni così.
Siamo quà per imparare no? (io si!) O per fare una gara?

...Bautz, è giustissimo quello che dici e lo
condivido pienamente.
Non sempre si riesce a dare una risposta
conclusiva a un problema e va benissimo,
anche secondo me, che nel frattempo uno
esprima le sue considerazioni senza doversi
sentire in una gara.
So che la cosa è stata ben acquisita, ma mi è
sembrato importante riprenderla, soprattutto
per i nuovi arrivati.

Sostituendo alternativamente $x1$ ed $x2$ (non so fare il pedice)...

Giorgio, per il pedice bisogna fare così:

Codice: Seleziona tutto

[tex]x_1[/tex]

e visualizzi:

$x_1$.

Con un pedice e un apice, invece, bisogna
scrivere:

Codice: Seleziona tutto

[tex]x_1^2[/tex]

e visualizzi:

$x_1^2$.

Se poi volessi ridurre un po' sia il pedice che l'apice,
potresti far così:

Codice: Seleziona tutto

[tex]x_{\script 1}^{\script 2}[/tex]

e visualizzi:

$x_{\script 1}^{\script 2}$.

Comunque, ti consiglio di consultare la bella sezione
che l'Amministratore di questo sito ha dedicato a TeX:
"Tutorial sulla scrittura di equazioni con TeX"

------

Come ha indicato giustamente Panurgo (bravo!) la
relazione proposta poteva essere riscritta in questo
modo:

$(x^{\script 2}-2x+5)(x^{\script 2}+2x-1)=0$

e il coefficiente di $\,x\,$ nel primo polinomio risponde al
problema.
E i due polinomi al primo membro sarebbero i "piedi"...


Bruno