Roba dell'altro mondo!

[Bruno]

...

Dimostrare che, per qualsiasi $\,n\,$ intero e positivo,
i seguenti numeri:

= $\frac{7\cdot(n+1)^{\script 13}-7\cdot n^{\script 13}-7}{13\cdot(n+1)^7-13\cdot n^7-13}$

= $\frac{5\cdot(n+1)^{\script 11}-5\cdot n^{\script 11}-5}{11\cdot(n+1)^5-11\cdot n^5-11}$

sono sempre interi e la loro differenza ( - )
è un quadrato esatto.


Bruno

[panurgo]

A'bBruno, 'cche 'cce l'hai con noi?

[Bruno]

...maccimancherebbe!
Ciao Panurgo

Quest'aggeggio è stato 'inventato' (cioè trovato)
da un certo signor Ernest-Napoleon Barisien
(si dice che fosse un comandante, ma non so in
quale campo), il quale scorrazzava fra simili e
diverse questioni matematiche molto tempo fa.
Come le scovasse, però, lo sapeva solo lui...
Comunque, si divertiva parecchio (sembra).


Bruno

[Sancho Panza]

Semplificando si ottiene:

=$n^6+3n^5+8n^4+11n^3+8n^2+3n+1$

=$n^6+3n^5+7n^4+9n^3+7n^2+3n+1$


che sono interi per qualsiasi n intero

La loro differenza ( - ) vale: $(n^2+n)^2$

che è un quadrato esatto

Adios

[Bruno]

...

Bene, Sancho Panza

Una prima considerazione.
Dietro "semplificando", naturalmente, si può
nascondere una buona quantità di calcolini
oppure qualche opportuna osservazione per
abbreviar la via: sarebbe interessante vedere
qualche metodo.
Tu come hai fatto?
Un'altra considerazione.
Giustamente trovi due espressioni, per e
per , che sono intere per qualsiasi n intero.
Ovviamente, però, quelle espressioni non
equivalgono ai due rapporti iniziali, dal
momento che esistono dei valori interi di
n che non permettono di rispondere al
problema.


(Bruno)

[leandro]

Se non si vogliono fare calcoli si puo' tener conto di quanto segue.
a) i numeri della forma $(n+1)^{6p+1}-(n^{6p+1}+1)$
sono divisibili per $(n^2+n+1)^2$
b) i numeri della forma $(n+1)^{6p+5}-(n^{6p+5}+1)$
sono divisibili per $(n^2+n+1)$
[p= intero non negativo]
c)i termini della prima frazione sono entrambi divisibili per 7*13,mentre
quelli della seconda per 5*11
d)Considerando per comodita' di ragionamento anche valori nulli o negativi
di n ,si vede che i termini di entrambe le frazioni si annullano per
n=0,n=-1
Pertanto la prima frazione si puo' scrivere cosi':
$\frac{91n(n+1)(n^2+n+1)^2r(n)}{91n(n+1)(n^2+n+1)^2}=r(n)$
dove r(n) e' un polinomio ,a coefficienti interi, di sesto grado.
Analogamente per la seconda frazione e cio' prova la prima parte del
quesito.Per la faccenda del quadrato sto provando.
La dimostrazione dei punti (a) e (b) si basa sul fatto che un polinomio
e' certamente divisibile per un altro ( con uguali i coefficienti dei termini
di grado piu' alto) se le radici del secondo sono anche radici del primo.
E sul fatto che le radici di n^2+n+1 sono le radici terze dell'unita',
diverse da 1.
Leandro

[Bruno]

...

Benissimo!

(...) Per la faccenda del quadrato sto provando (...)

Attendo il seguito, allora


(Bruno)