Confetti

[Tino]

Ciao a tutto il mondo!

Ho un divertente quesito da sottoporvi, sperando che non lo conosciate e che non sia già comparso da qualche parte in questo forum.

Abbiamo 3 contenitori, e ognuno contiene 30 confetti bianchi. Alcuni di questi confetti sono alla cioccolata, alcuni alla vaniglia. Evidentemente il gusto dei confetti è riconoscibile solo assaggiandoli (sono tutti bianchi).

I confetti del primo contenitore sono tutti alla cioccolata, e sul coperchio c'è scritto "cioccolata".

I confetti del secondo contenitore sono tutti alla vaniglia, e sul coperchio c'è scritto "vaniglia".

I confetti del terzo contenitore sono misti: alcuni alla cioccolata, alcuni alla vaniglia, e ce ne sono almeno 2 diversi tra loro. Sul coperchio c'è scritto "misti".

Ora, un ignoto oscuro personaggio arriva e scambia i coperchi.

Si vuole sapere qual è il numero minimo di confetti che bisogna assaggiare per rimettere ogni coperchio sul contenitore giusto, in ognuno dei seguenti casi:

1) non si sa in che modo i coperchi sono stati scambiati (per dire, potrebbero essere tutti ancora al loro posto).

2) si sa che un coperchio è al suo posto, gli altri due sono scambiati.

3) si sa che nessun coperchio è al suo posto.

Ciao

[delfo52]

non sono sicuro, ma la prima versione, quella in cui si ignora la sorte dei coperchi, mi sembra equivalere al quesito con scatole aperte, senza coperchi, di cui sia sa che contengono confetti distribuiti come descritto.
In questo caso, sono giunto a questo punto:
assaggio un confetto da ogni scatola. Non possono essere tutti CCC nè VVV, per cui sono CCV o VVC (l'ordine non conta).
La scatola da cui ho estratto il confetto "singolo", cioè la terza nei miei esempi, deve per forza essere quella che contiene solo quel tipo (un modo per convincersene è ipotizzare che il secondo estratto da quella scatola sia della diversa specie, cioè uguale a quelli estratti dalle altre scatole; il che è impossibile).
Per capire, tra le prime due scatole quale è quella mista e quale quella "monotona", la cosa non è tanto facile, perchè, per l'enunciato, potrebbe esserci un solo confetto diverso tra tutti quelli contenuti nelle due scatole. Non viè modo di sapere nulla di più finchè non si è assaggiato l'ultimo confetto di una scatola. Non ha senso pizzicare un po' da una e un po' dall'altra: si corre solo il rischio di doverne mangiare 59...
Secondo quanto detto finora, il numero minimo è pertanto 4 (nell'ipotesi che il quarto estratto sia "diverso dal suo compagno di scatola precedentemente assaggiato; e il massimo 32
SE&O

[delfo52]

nel caso 3, basta molto meno
si parte col solito assaggio, uno per scatola
avremo , come detto, CCV o VVC
per semplicità esaminiamo solo la prima ipotesi (tanto il problema è speculare).
Come detto, la scatola da cui ho estratto V è quella che contiene solo V
Per definizione sul coperchio deve avere m o c
In entrambi i casi , non è difficile dimostrare che la sistemazione degli altri due coperchi è obbligata.
A lume di naso, credo che si possa migliorare il risultato, applicando un algoritmo che preveda che, dopo il primo confetto, la scelta della scatola da cui estrarre il secondo sia guidata da ragionamenti.
Ma, per risparmiare un solo confetto, non ho voglia di impegnarmi.

[bautz]

Nel caso 3, dove nessuna scatola ha il proprio coperchio, prenderei un confetto dalla scatola "misti", se è vaniglia allora il suo coperchio giusto è vaniglia, e nella scatola che ora ha il coperchio vaniglia ci sono per forza i confetti al cioccolato, perchè, se ci fossero i misti, quelli al cioccolato sarebbero nella scatola col coperchio "cioccolato", ma ciò è inammissibile visto che tutti i coperchi sono stati scambiati. Viceversa se dalla scatola "misti" estraggo un confetto al cioccolato.
Quindi per il caso 3 mi basta solo un confetto dalla scatola con coperchio "misti" per individuare correttamente le scatole.

Nel caso 2, dove un coperchio è giusto e gli altri 2 sono scambiati, partirei sempre dalla scatola con coperchio "misti". Se estraggo vaniglia allora la scatola può essere o quella della vaniglia (nel caso di coperchio sbagliato) o quella dei misti (nel caso di coperchio giusto). Quindi prendo un confetto dalla scatola con coperchio vaniglia, e ho due casi:
A)Se estraggo vaniglia allora sicuramente la scatola restante, col coperchio "cioccolato", contiene cioccolato, perchè le scatole con coperchio "misto" e "vaniglia" contengono ciascuna un confetto vaniglia.
E quindi sono proprio queste 2 scatole (miste e vaniglia) a cui sono stati invertiti i coperchi. Quindi il coperchio "vaniglia" contiene i misti e il coperchio "misti" contiene i vaniglia. E come detto il coperchio "cioccolato" contiene cioccolato.
B)Se estraggo cioccolato allora il coperchio di questa scatola (che dice "vaniglia") è sbagliato.
E il suo contenuto può essere o cioccolato o misto.
-Se il suo contenuto fosse misto vorrebbe dire che il suo coperchio (cioè il misto) è finito sulla prima scatola, quella da cui ho estratto il vaniglia iniziale, quindi quella scatola conterrebbe solo vaniglia (avendo il coperchio, sbagliato, che dice misto). Quindi l'ultima scatola, quella con coperchio "cioccolato" conterrebbe effettivamente cioccolato (se quella col coperchio "vaniglia" contenesse misto).
-Ma c'è anche il caso in cui suo contenuto fosse cioccolato. Allora la scatola col coperchio "cioccolato" avrebbe anch'essa il coperchio sbagliato. Ciò vuol dire che se così fosse il "vaniglia" sarebbe stato invertito col "cioccolato", mentre la mista sarebbe rimasta col coperchio giusto (infatti solo 2 coperchi si sono invertiti).
Quindi se la scatola col coperchio "vaniglia" contiene cioccolato, nella scatola con coperchio "cioccolato" dev'esserci vaniglia.

Insomma, il dubbio è sulla seconda scatola, quella con coperchio vaniglia da cui potrei aver estratto cioccolato, e lo risolvo guardando nella scatola con coperchio "cioccolato": se contiene cioccolato vuol dire che si sono invertiti i coperchi delle scatole vaniglia e misti (come detto alla fine del punto A); se contiene vaniglia vuol dire che si sono invertiti i coperchi delle scatole vaniglia e cioccolato (come detto alla fine del punto B).

Quindi nel caso 3 sono necessari al massimo 3 confetti, uno per scatola, per individuare quali sono i 2 coperchi invertiti.

Nel caso 1...Dovrei prendere tutti e 30 i confetti della scatola con coperchio "misti" (indigestione).
Se effettivamente sono misti ne prendo uno dalla scatola con coperchio "cioccolato": se il confetto è cioccolato i coperchi sono tutti al loro posto, se è vaniglia sono stati invertiti i coperchi di vaniglia e cioccolato.
Se invece i 30 confetti della scatola "misti" sono tutti cioccolato prendo un confetto dalla scatola con coperchio "cioccolato": se esce cioccolato allora la scatola con coperchio "cioccolato" contiene i misti, la "vaniglia" contiene vaniglia (e come detto la "misti" contiene cioccolato").
Se invece esce vaniglia allora la scatola con coperchio "cioccolato" potrebbe contenere o vaniglia o cioccolato. E mi tocca ricorrere alla 3a scatola, quella con coperchio vaniglia, e ho 2 casi:
A)Se da lì estraggo cioccolato allora per forza quella scatola (con coperchio "vaniglia") contiene i misti (infatti non può esserci cioccolato perchè sappiamo che è la 1a scatola, quella con coperchio "misti", che contiene cioccolato). Quindi in questo caso sarebbero stati invertiti i coperchi di tuttie e 3 le scatole: i cioccolato hanno coperchio "misti", i misti hanno coperchio "vaniglia", e i vaniglia hanno coperchio "cioccolato".
B)Se da lì estraggo vaniglia allora sono proprio sfortunato, perchè potrebbe contenere sia i misti che i vaniglia. Quindi sono costretto a svuotare pure quella scatola di cioccolatini...
Quindi se va bene mi bastano 32 confetti, se va male me ne servono 61, o meglio, se svuoto direttamente 2 delle 3 scatole alla fine uso 1 confetto di meno, 60, e risolvo il problema con meno confetti in tempi più brevi.

[delfo52]

per i casi 2 e 3 mi pare tu abbia ragione.
Per il primo caso, credo che non sia conveniente interessarsi a cosa c'è scritto sul coperchio, tanto non sappiamo se sono a posto o se sono stati spostati.
Il sistema che ho cercato di spiegare prescinde dai coperchi, e consente di ricostruire la situazione con un numero di assaggi compreso tra 4 e 32.
cerco di spiegarlo meglio:
partiamo da un ragionamento preventivo: non è possibile che estraendo un confetto da ciascuna scatola essi siano di uno stesso gusto; devono per forza essere due di un tipo e uno dell'altro.
Avremo quindi per forza: CCV o VVC
Il confetto al sapore uscito una volta sola deve per forza essere stato estratto dalla scatola che contiene tutti confetti uguali a lui.
Le altre due scatole sono pertanto quella dell'altro sapore e quella mista.
Scegliamo a caso una di queste due scatole e cominciamo ad assaggiare; se incappiamo in un confetto diverso dal primo, il gioco è finito: quella è la scatola mista. Ciò può avvenire al primo colpo (cioè al secondo cioccolatino di quella scatola, il quarto in totale) o in uno qualsiasi degli assaggi successivi.
Se tutti i trenta cioccolatini risultano uguali, la scatola mista era l'altra, e avrò consumato quei 30 più uno ciascuno delle altre due scatole.

[Tino]

Ciao!

Non dispongo di soluzioni "ufficiali", ma mi trovo sostanzialmente d'accordo con voi: nel caso (1) da 4 a 32, nel caso (2) da 2 a 3, nel caso (3) 1 solo confetto.

Diciamo che supponendo di essere "sfortunati" (o fortunati, a seconda di quanto forte è il nostro stomaco ) ci toccherà assaggiarne 32 nel caso (1), 3 nel caso (2).

[bautz]

Per il primo caso,[...] il confetto al sapore uscito una volta sola deve per forza essere stato estratto dalla scatola che contiene tutti confetti uguali a lui.

Accidenti...hai ragione, mi era sfuggito. Ottimo