dalle molle al determinante ricreativo

[Tino]

Valutando la complessità oggettiva di un problema di tipo fisico-matematico io e alcuni amici siamo giunti a un sistema di equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti. Da qui è partito il nostro interesse per questioni (apparentemente) ludiche, come per esempio il calcolo del determinante della matrice del sistema suddetto.

Nel problema comparivano n molle collegate in serie, e questo portava a n-1 equazioni del secondo ordine, che come noto si può ricondurre allo studio di un sistema di 2n-2 equazioni del primo ordine del tipo $z'=Az$, dove z comprende posizioni e velocità. La matrice A ($(2n-2) \times (2n-2)$) è risultata del tipo (dopo opportune normalizzazioni semplificative riguardo costante elastica e masse)

$A= \left \( \begin{array}{cc} 0 & 1_{n-1} \\ B & 0 \end{array} \right)$

matrice a blocchi, dove $1_{n-1}$ indica la matrice identica di ordine n-1. B è una matrice $(n-1) \times (n-1)$ siffatta:

$B= \left( \begin{array}{ccccccc} 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & ... & 0 \\ -1 & 2 & -1 & 0 & 0 & ... & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 0 & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & -1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & ... & 0 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & ... & 0 & 0 & -1 & 2 \end{array} \right)$

Il nostro proposito inziale (o almeno lo scopo "ambizioso") era calcolare l'esponenziale $e^A$, ma presi dalla nostra mania "ricreativa" ci siamo chiesti se $det A$ (determinante di A) avesse un'espressione umana. Da qui ci siamo ricondotti al calcolo di $det B$, e dopo vari colpi di genio e idee tirate fuori dal nostro intenso passato siamo giunti... ad un risultato abbastanza sorprendente (se non ci siamo sbagliati).

Affinché l'aspetto di B non sia equivocato, darò una descrizione più algebrica di tale matrice. Si ha

$\left \{ \begin{array}{l}B_{i,i}=2\ \forall i = 1,...,n-1 \\ B_{i,i+1}=B_{i+1,i}=-1\ \forall i=1,...,n-2 \\B_{i,j}=0\ \mbox{negli altri casi} \end{array}$

Secondo voi quanto vale $det A$?

[leandro]

n
Leandro

[Tino]

n
Leandro

Beh, non proprio...
Diciamo che non condivido l'affermazione $det A=n$

La cosa interessante e' che una volta che uno pensa a un problema vuole sempre di piu'... per esempio il polinomio caratteristico. Ho disegnato con un programma i polinomi caratteristici delle matrici al variare del loro ordine, e osservandoli e' ragionevole pensare che per il polinomio corrispondente alla matrice di ordine 2n-2:

1) ci siano 2n-2 zeri distinti, tutti reali (!)
2) tali zeri siano compresi tra -2 e 2

In particolare da (1) seguirebbe che A e' sempre diagonalizzabile, con autovalori tutti reali (!)

Chiaramente uno sguardo veloce ai grafici dei primi 20 polinomi non e' indicativo (come non lo sarebbe uno sguardo ai grafici dei primi K, con K naturale arbitrario ), pero' si potrebbe provare a verificarlo...

Per esempio, dispongo di una formula ricorsiva che fornisce tutti i polinomi caratteristici, ma non sono ancora riuscito da qui a verificare la separabilita' di ogni singolo polinomio (per esempio verificando che il ogni polinomio e' coprimo con la sua derivata).

Entro stasera spero di riuscire a postare i grafici di qualche polinomio caratteristico.

Che ne dite?

Ciao

[panurgo]

Diciamo che non condivido l'affermazione $det A=n$

Con le mie scarsissime conoscenze di algebra delle matrici , oserei dire $det A = \left| {\begin{array}{cc} 0 & {I_{n - 1} } \\ {B_{n - 1} } & 0 \\ \end{array}} \right| = \left( - 1 \right)^{\script n - 1} \quad n$

[Bruno]

...

Corro... ma volevo dire che anche a me
sembra giusta la risposta indicata da
Panurgo.
Per essere sicuro, comunque, dovrei
fermarmi e fare per bene i conticini.

Buon fine settimana a tutti!


Bruno

[Tino]

Dunque, questi sono i grafici dei primi 11 polinomi caratteristici, nello stesso piano (NB: i grafici non sono in scala):



Mentre questo è il diciassettesimo polinomio (che ha grado 32):



Come si vede l'andamento è simpatico (funzione pari, zeri tutti reali e distinti, tanti zeri quant'è il grado...).

A chi interessasse dico che la formula ricorsiva che dà i polinomi caratteristici è la seguente:

$\left \{ \begin{array}{l}p_1(x)=1 \\ p_2(x)=x^2-2 \\ p_k(x)=(x^2-2)p_{k-1}(x)-p_{k-2}(x) \end{array}$

e se preferite:

$\left( \begin{array}{c} p_k(x) \\ p_{k-1}(x)\end{array}\right)= \left( \begin{array}{cc} x^2-2 & -1 \\ 1 & 0\end{array} \right) \left(\begin{array}{c}p_{k-1}(x) \\ p_{k-2}(x) \end{array} \right)= \left(\begin{array}{cc}x^2-2 & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right)^{k-2} \left(\begin{array}{c}x^2-2 \\ 1 \end{array}\right)$

In particolare si ha $p_n(0)=(-1)^{n-1} n$, come dev'essere. Inoltre è facile verificare che ogni $p_n(x)$ è funzione polinomiale di $p_2(x)$ (da cui tutti i polinomi sono funzioni pari).

Probabilmente penserò ancora su questa faccenda degli zeri, finché non troverò qualche risultato soddisfacente...

Mi unisco a Bruno, buon fine settimana! A tutti!

(inciso: per rendervi partecipi, probabilmente quello che farò i prossimi due giorni di "didattico" sarà: capire perché il differenziale n-esimo è una applicazione n-lineare (se è vero)).