Argomento : somma dei primi n numeri quadrati e somma dei primi n numeri cubi..
Esempio
somma dei primi 2 quadrati=5 dei primi 2 cubi=9 rapporto cubi / quadrati 9/5 = 1,8
somma dei primi 3 quadrati=14 dei primi 3 cubi=36 rapporto cubi / quadrati 36/14=2,57
somma dei primi 4 quadrati=30 dei primi 4 cubi=100 rapporto cubi / quadrati 100/30=3,33
eccetera
Non ho trovato una correlazione tra questi dati. Qualcuno ha suggerimenti?
Per vedere se arrivavo da qualche parte ho cercato dei rapporti come sopra descritti la cui parte intera fosse multiplo di 1000.
Alcuni esempi:
quoziente della somma dei primi n cubi
n diviso la somma dei primi n quadrati
49.333 37.000,125
721.333 541.000,125
1.825.333 1.369.000,125
Notare le ultime 3 cifre della colonna A, e gli stessi decimali nella colonna E.
Ho lavorato con un foglio Excel che mi da una moltitudine di dati in un istante, ma
il forum non accetta estensione xls.
Pam.
somma di cubi e quadrati
Moderatori: Gianfranco, Bruno
Questo forum è una sezione del PORTALE DI BASE CINQUE
Per citare la sempre valida "Guida galattica per autostoppisti,don't panic(non fatevi prendere dal panico).
La somma dei primi n numeri é data dall'arcinota formuletta
$\displaystyle \sum_{i=1}^{n} i=\frac {n(n+1)}{2}=\frac {n^2+n}{2}$;
le formule per la somma dei primi n quadrati e dei primi n cubi sono rispettivamente
$\displaystyle \sum_{i=1}^{n} i^2=\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}$
e
$\displaystyle \sum_{i=1}^{n} i^3=\left[\frac {n(n+1)}{2}\right]^2$
(l'ultima formula é il quadrato della prima:in altre parole,per ottenere la somma dei primi n cubi basta elevare al quadrato la somma dei primi n numeri naturali).
Di tutte queste formule si ha rapidamente conferma per induzione(pam,se hai voglia di leggerti anche la dimostrazione fammelo sapere;la posterò al più presto-non stasera-o se preferisci te la invio per Messaggio Privato):usando le ultime due abbiamo che il rapporto tra la somma dei primi n cubi e la somma dei primi n quadrati é dato da
$\displaystyle \frac {n^2(n+1)^2}{4}\cdot\frac {6}{n(n+1)(2n+1)}$
e semplificando il semplificabile si ha
$\displaystyle \frac {3n(n+1)}{2(2n+1)}=\frac {3n^2+3n}{4n+2}$
Su quest'ultima espressione c'é poco da dire:a naso direi che é strettamente crescente(al numeratore abbiamo una funzione di secondo grado,al denominatore di primo grado;anche questo si può trovare rapidamente con l'induzione su N) per n>0 e che non possiamo farci molto di più.
Un po' più difficile é il problema di trovare i valori di n che diano un rapporto la cui parte intera sia multipla di 1000:in sintesi,si tratta di risolvere l'equazione parametrica $3n^2+(3-4000k)n-2000k$,con k intero(trovata la soluzione positiva dell'equazione basta approssimare all'intero più vicino).Si potrebbe trovare forse una formula generica per ricavare i valori di N che soddisfano tali condizioni,ma temo che il problema diventi terribilmente fumoso e formuloso:meglio far lavorare un po' Excel o Derive e riposare finalmente le meningi.
Forse esiste una soluzione più elegante che non chiama in aiuto formule scopiazzate in giro,ma di meglio, soprattutto a quest'ora, non so fare...
Bene,saluti e salumi,a domani.
Yours,
Zerinf
La somma dei primi n numeri é data dall'arcinota formuletta
$\displaystyle \sum_{i=1}^{n} i=\frac {n(n+1)}{2}=\frac {n^2+n}{2}$;
le formule per la somma dei primi n quadrati e dei primi n cubi sono rispettivamente
$\displaystyle \sum_{i=1}^{n} i^2=\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}$
e
$\displaystyle \sum_{i=1}^{n} i^3=\left[\frac {n(n+1)}{2}\right]^2$
(l'ultima formula é il quadrato della prima:in altre parole,per ottenere la somma dei primi n cubi basta elevare al quadrato la somma dei primi n numeri naturali).
Di tutte queste formule si ha rapidamente conferma per induzione(pam,se hai voglia di leggerti anche la dimostrazione fammelo sapere;la posterò al più presto-non stasera-o se preferisci te la invio per Messaggio Privato):usando le ultime due abbiamo che il rapporto tra la somma dei primi n cubi e la somma dei primi n quadrati é dato da
$\displaystyle \frac {n^2(n+1)^2}{4}\cdot\frac {6}{n(n+1)(2n+1)}$
e semplificando il semplificabile si ha
$\displaystyle \frac {3n(n+1)}{2(2n+1)}=\frac {3n^2+3n}{4n+2}$
Su quest'ultima espressione c'é poco da dire:a naso direi che é strettamente crescente(al numeratore abbiamo una funzione di secondo grado,al denominatore di primo grado;anche questo si può trovare rapidamente con l'induzione su N) per n>0 e che non possiamo farci molto di più.
Un po' più difficile é il problema di trovare i valori di n che diano un rapporto la cui parte intera sia multipla di 1000:in sintesi,si tratta di risolvere l'equazione parametrica $3n^2+(3-4000k)n-2000k$,con k intero(trovata la soluzione positiva dell'equazione basta approssimare all'intero più vicino).Si potrebbe trovare forse una formula generica per ricavare i valori di N che soddisfano tali condizioni,ma temo che il problema diventi terribilmente fumoso e formuloso:meglio far lavorare un po' Excel o Derive e riposare finalmente le meningi.
Forse esiste una soluzione più elegante che non chiama in aiuto formule scopiazzate in giro,ma di meglio, soprattutto a quest'ora, non so fare...
Bene,saluti e salumi,a domani.
Yours,
Zerinf
Lo scopo principale di una dichiarazione DATA è quello di dare dei nomi alle costanti; anziché inserire ogni volta 3.141592653589793 come valore di $\pi$, con una dichiarazione DATA si può assegnare tale valore alla variabile PI che può essere poi usata per indicare la costante. Ciò rende anche più semplice modificare il programma, qualora il valore di $\pi$ dovesse cambiare.
-Da un vecchio manuale FORTRAN della Xerox
-Da un vecchio manuale FORTRAN della Xerox
...
Lascio un mezzo pensiero.
Non è difficile dimostrare, grazie anche alle
determinazioni di 0-§, che la parte intera
del valore fornito da:
$\alpha = \frac{3n(n+1)}{2(2n+1)}$
è il numero intero che si ottiene da uno di
questi rapporti:
$\frac{3n-2}{4},\, \frac{3n-1}{4},\, \frac{3n}{4},\, \frac{3n+1}{4}$
e ciò permetterebbe di individuare in maniera
più agevole gli $\,n \,$ che corrispondono a una
parte intera multipla di 1000 (oppure aventi
altre caratteristiche).
Giusto per fare un esempio evidente, per
$\small n=4000h\,$ il terzo rapporto è intero (chiaramente
è l'unico...) e questo significa che tutti i multipli
di 4000 'mettono' tre zeri finali nella parte intera
di $\,\alpha$.
E se a $\small 4000h\,$ sommassimo 1333? Otterremmo
un altro insieme di $\,n \,$ che rende divisibile per
1000 la parte intera di $\,\alpha$, del quale fanno
parte i numeri citati da Pam (con questi $\,n$,
naturalmente, non diventa più intero il terzo
rapporto, ma il quarto).
o&eS
(Bruno)
Lascio un mezzo pensiero.
Non è difficile dimostrare, grazie anche alle
determinazioni di 0-§, che la parte intera
del valore fornito da:
$\alpha = \frac{3n(n+1)}{2(2n+1)}$
è il numero intero che si ottiene da uno di
questi rapporti:
$\frac{3n-2}{4},\, \frac{3n-1}{4},\, \frac{3n}{4},\, \frac{3n+1}{4}$
e ciò permetterebbe di individuare in maniera
più agevole gli $\,n \,$ che corrispondono a una
parte intera multipla di 1000 (oppure aventi
altre caratteristiche).
Giusto per fare un esempio evidente, per
$\small n=4000h\,$ il terzo rapporto è intero (chiaramente
è l'unico...) e questo significa che tutti i multipli
di 4000 'mettono' tre zeri finali nella parte intera
di $\,\alpha$.
E se a $\small 4000h\,$ sommassimo 1333? Otterremmo
un altro insieme di $\,n \,$ che rende divisibile per
1000 la parte intera di $\,\alpha$, del quale fanno
parte i numeri citati da Pam (con questi $\,n$,
naturalmente, non diventa più intero il terzo
rapporto, ma il quarto).
o&eS
(Bruno)
Ultima modifica di Bruno il sab gen 06, 2007 12:44 pm, modificato 1 volta in totale.
(Bruno)
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
Segue a titolo di esempio uno stralcio della griglia di excel:
che è possibile inserire come immagine.
Selezioni la parte di foglio excel che interessa, fai copia e incolla in Paint e salvi come immagine jpg, che puoi utilizzare come al solito.
che è possibile inserire come immagine.
Selezioni la parte di foglio excel che interessa, fai copia e incolla in Paint e salvi come immagine jpg, che puoi utilizzare come al solito.
_________________
$\text { }$ciao
ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
$\text { }$ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
...
Un altro pezzettino...
Un modo che permette di vedere subito
che i quattro rapporti, quando non siano
numeri decimali, corrispondono alla parte
intera di $\,\alpha$, si basa su queste 'riscritture'
di $\,\alpha\,$ stesso:
$\alpha=\frac{3n(n+1)}{2(2n+1)}=\frac{3n-2}{4}+\frac{7n+2}{8n+4} =\frac{3n-1}{4}+\frac{5n+1}{8n+4}=\frac{3n}{4}+\frac{3n}{8n+4}=\frac{3n+1}{4}+\frac{n-1}{8n+4}\;.$
Si vede, infatti, che le espressioni di fianco
ai quattro rapporti sono tutte minori di 1.
Quando questi rapporti diventano interi (uno
alla volta...), l'espressione che li segue non
li condiziona.
Se ci proponessimo di cercare gli $\,n\,$ che
rendano quadrata la parte intera di $\,\alpha$,
scopriremmo subito che questo non potrebbe
mai accadere quando sia intero il rapporto
$\,\small \frac{3n-1}{4}\,$, poiché nessun quadrato precede di
un'unità un multiplo di 3.
In tutti gli altri casi, invece, possiamo senz'altro
trovare dei quadrati come parti intere di $\,\alpha$.
le stesse, trattandosi di approssimazioni.
Questo possiamo dedurlo anche da quello che
abbiamo visto sopra.
A presto
Bruno
Un altro pezzettino...
Un modo che permette di vedere subito
che i quattro rapporti, quando non siano
numeri decimali, corrispondono alla parte
intera di $\,\alpha$, si basa su queste 'riscritture'
di $\,\alpha\,$ stesso:
$\alpha=\frac{3n(n+1)}{2(2n+1)}=\frac{3n-2}{4}+\frac{7n+2}{8n+4} =\frac{3n-1}{4}+\frac{5n+1}{8n+4}=\frac{3n}{4}+\frac{3n}{8n+4}=\frac{3n+1}{4}+\frac{n-1}{8n+4}\;.$
Si vede, infatti, che le espressioni di fianco
ai quattro rapporti sono tutte minori di 1.
Quando questi rapporti diventano interi (uno
alla volta...), l'espressione che li segue non
li condiziona.
Se ci proponessimo di cercare gli $\,n\,$ che
rendano quadrata la parte intera di $\,\alpha$,
scopriremmo subito che questo non potrebbe
mai accadere quando sia intero il rapporto
$\,\small \frac{3n-1}{4}\,$, poiché nessun quadrato precede di
un'unità un multiplo di 3.
In tutti gli altri casi, invece, possiamo senz'altro
trovare dei quadrati come parti intere di $\,\alpha$.
...in realtà, Pam, le parti decimali non sonopam6203 ha scritto:(...)
Colonna A --- Colonna E (aggiunto da Bruno)
.....49.333 --- 37.000,125
...721.333 --- 541.000,125
1.825.333 --- 1.369.000,125
Notare le ultime 3 cifre della colonna A, e gli stessi decimali nella colonna E.
le stesse, trattandosi di approssimazioni.
Questo possiamo dedurlo anche da quello che
abbiamo visto sopra.
A presto
Bruno
Ultima modifica di Bruno il mer set 20, 2006 3:08 pm, modificato 1 volta in totale.
(Bruno)
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Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
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Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
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Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
Ciao Zerinf e Bruno e Pasquale
prima di tutto grazie di avere esaminato il problema. Temo che le vostre argomentazioni raggiungano un livello superiore alle mie deboli forse.
Mi avete dato entrambi degli spunti preziosi, ma devo assorbirli poco alla volta.
Zeriinf: spero di ricostruire la dimostrazione. Se non ci riesco chiederò soccorso.
Bruno . Mi piace la tua definizione di "mezzo pensiero". Vedremo cosa succede quando avrai un pensiero completo.
Mi rendo conto: i decimali che ho quotato sono una approssimazione.
Comunque al di sopra di un certo n i decimali si sconvolgono.
Il meccanismo sarà da scoprire.
Pasquale: Proverò
Permettetemi una divagazione.
Da tempo penso che la potenza del computer addormenti le idee.
Un esempio; Anni fa avevo scritto un penoso programma per cercare la frazione generatrice.
Funzionava anche, ma occorreva un’eternità per trovare una dozzina di decimali esatti.
Poi in un libro di matematico di un secolo fa ho trovato un algoritmo che converge molto rapidamente.
Bastano tre/quattro passaggi. Meningi più carta e matita meglio del computer.
Ciao.
Pam
prima di tutto grazie di avere esaminato il problema. Temo che le vostre argomentazioni raggiungano un livello superiore alle mie deboli forse.
Mi avete dato entrambi degli spunti preziosi, ma devo assorbirli poco alla volta.
Zeriinf: spero di ricostruire la dimostrazione. Se non ci riesco chiederò soccorso.
Bruno . Mi piace la tua definizione di "mezzo pensiero". Vedremo cosa succede quando avrai un pensiero completo.
Mi rendo conto: i decimali che ho quotato sono una approssimazione.
Comunque al di sopra di un certo n i decimali si sconvolgono.
Il meccanismo sarà da scoprire.
Pasquale: Proverò
Permettetemi una divagazione.
Da tempo penso che la potenza del computer addormenti le idee.
Un esempio; Anni fa avevo scritto un penoso programma per cercare la frazione generatrice.
Funzionava anche, ma occorreva un’eternità per trovare una dozzina di decimali esatti.
Poi in un libro di matematico di un secolo fa ho trovato un algoritmo che converge molto rapidamente.
Bastano tre/quattro passaggi. Meningi più carta e matita meglio del computer.
Ciao.
Pam