Ha già i suoi anni, ma è ancora arzillo...

[Bruno]

...

Prendiamo il numero naturale composto a=6n-1.
Esistono sicuramente due divisori di a, non unitari,
la cui somma è divisibile per 6.


Bruno

[Tino]

Ciao Bruno,...

forse ci si propone di dimostrare che tali divisori NON esistono? Perché basta che a sia primo (per es. n=1 => a=5) perché vada tutto male.

O forse ho interpretato male?

[delfo52]

a non può essere primo, perchè deve avere due divisori non unitari, come si evince dal (con)testo

[Tino]

AAAhhh scusate! Io quando un numero non è primo lo chiamo "composito"...

non avevo capito che era un'ipotesi

Scusassero

[Tino]

Ok bene, allora mi propongo di dimostrare che se $h \cdot k=6n-1$ con $h,k \neq 1$ allora h oppure k è congruo a 1 modulo 6. Alché avrò finito perché se per esempio h è tale divisore, 6n-1+h è divisibile per 6.

Questo si vede subito osservando che se il prodotto di due numeri è congruo a 5 modulo 6 allora uno di essi è congruo a 1, l'altro a 5 modulo 6 (basta fare una tabellina... risparmiatemelo )

Ciao

[Bruno]

...

Bene, Tino: il concetto è quello.
In effetti, considerando 6n-1=hk, h e k devono
essere dispari e non divisibili per 3, quindi si
conclude direttamente che essi devono avere
la forma 6p±1 (tutti i numeri interi divisibili per 3
sono di tipo 6p e 6p+3, mentre i rimanenti sono
di tipo 6p±2 e 6p±1).
Inoltre, si vede subito che i due fattori h e k non
possono contemporaneamente precedere oppure
seguire un multiplo di 6 (diversamente, il loro prodotto
seguirebbe sempre un multiplo di 6).
Poiché 6n=(h-1)(k-1)+(h+k), è immediato dedurre,
allora, la proprietà proposta.

Bruno

[Pigreco]

piccola domanda: due divisori di a non unitari intendi non entrambi unitari
n=1 a=6n-1=5
n=2 a=6*2-1=11
n=3 a=6*3-1=17
n=4 a=6*4-1=23
ci sono casi in cui a è primo, e in questo caso il teorema funziona però scegliendo come fattori 1 e 6n-1
in altri casi come per
n=6 a=6*6-1=35
35=7*5 7+5=12 6|12
e in questo caso il teorema funziona anche con divisori non unitari... come ci si deve regolare per i casi in cui a è primo?

altra piccola domanda: tu hai enunciato questa proprietà sui numeri naturali, è possibile dimostrarla per induzione?
ho provato la dimostrazione ma mi blocco verso la fine...

[Bruno]

...

Sì, Pigreco: il problema non considera i
fattori 1 e 6n-1 (peraltro, diciamo così,
sono gli unici ammissibili per i numeri primi)
poiché è evidente che soddisfano la proprietà.
Al momento, purtroppo, non mi viene in
mente una via induttiva per dimostrare la
questione. Una difficoltà, a una prima occhiata,
vien forse dal fatto che infiniti numeri del
tipo 6n-1 sono primi e non si sa quando
possano infilarsi nei tuoi passaggi.
Comunque, ci penserò.
Ciao!

Bruno