Salve a tutti!!
girando qua e la per la rete mi sono imbattuto in un indovinello al quale non riesco a dare una soluzione, probabilmente perche ho abbandonato il calcolo combinatorio da diversi anni.
il quesito è:
Supponiamo che abbiate una scacchiera e che la distruggiate in modo da ottenere 32 caselle bianche e 32 nere. Ora desiderate ripararla riposizionando ogni parte nella sua posizione originaria (sono escluse le possibilità di rotazione della singola casella). Quante combinazioni dovrete provare nel peggiore dei casi?
se ho ben capito, si vuole ricomperre la tavola con i 64 pezzi al loro posto, anche se girati con orientamento differente.
Ammettiamo che la cosa è un po' strana...
Direi che ci sono 32! * 2 possibilità
Cominciamo dalla prima casella in alto a sinistra, e stabiliamo che in quella posizione debba andare una tessera Nera: abbiamo 32 scelte
La seconda casella che anndremo a disporre (per praticità, diciamo una contigua, ma non necessariamente)se Bianca avrà altre 32 scelte, se Nera ne avrà solo 31.
Le due serie, alternate, ma anche no, proseguiranno fino a quando resterà una sola tessera N e una sola B (ancora non necessariamente come ultime due pezzetti da disporre: potremmo mettere prima tutte le N e poi le B)
condivido il ragionamento di Delfo52, che però è valido nel caso in cui non ammettiamo le combinazioni contenenti pezzi adiacenti dello stesso colore;
tuttavia mi sembra che sia $32!^{\small 2}$ in quanto per ogni combinazione di 32 caselle nere alternate possiamo averne 1 di caselle bianche alternate, ossia il prodotto $32!\cdot32!=32!^{\small 2}$.
Nel caso cosideriamo possibili anche combinazioni con pezzi adiacenti, in tal caso il numero di combinazioni totali ci è dato dalle combinazioni di 64 elementi a gruppi di 64, ossia dalle permutazioni di 64 elementi;
cioè $64!$.
Tuttavia nel quesito si dice di non tener conto della rotazione delle singole caselle;
e della rotazione della scacchiera?
ne dobbiamo tener conto?
Ciao
Admin
Pietro Vitelli (Amministratore del Forum) "Un matematico è una macchina che converte caffè in teoremi" Paul Erdös www.pvitelli.net
Il quesito chiede di ricomporre la scacchiera riposizionando i pezzi nelle posizioni originarie, ciò presuppone che ci sia un modo per determinare se un pezzo si trova nella sua posizione originaria o meno. Se così non fosse e i pezzi fossero tagliati perfettamente, basterebbe provare una sola combinazione.
Supponiamo allora che i pezzi siano tagliati in modo irregolare tali da poter determinare se un pezzo combacia o meno con quelli adiacenti, esattamente come accade in un puzzle. In questo caso non ho bisogno di provare tutte le possibili combinazioni per ricomporre la scacchiera ma posso procedere ad una ricostruzione progressiva.
Semplifichiamo il problema ipotizzando che, come in un puzzle, siano riconoscibili le caselle perimetrali e ragioniamo come segue:
Posiziono per prima una casella bianca d’angolo in alto a sinistra e (supponendo di conoscere a priori l’orientamento relativo delle caselle) provo le 3 caselle nere del bordo superiore e le 3 del bordo sinistro nelle 2 posizioni possibili adiacenti alla bianca. Nel caso peggiore (l’ultima casella è quella giusta) faccio 6 tentativi di posizionamento.
Procedo a completare il perimetro, per ogni bordo faccio 3 tentativi per la terza casella (bianca), 2 per la quarta e quinta (una nera e una bianca) e 1 per le ultime due, totale 12*4 + 4 (angoli) = 52.
Ora riempio l’interno, per ogni casella che posiziono (indipendentemente dal colore) devo fare al massimo un numero di tentativi pari a quello delle caselle restanti di quel colore, cioè 2*( 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18 ) = 342
In conclusione con al massimo 394 operazioni di posizionamento posso ricomporre la scacchiera, se provassi alla cieca le operazioni sarebbero 32!*64.
Naturalmente il numero di tentativi aumenta, anche se non di molto, se non sono in grado di distinguere a priori le caselle perimetrali. Lascio a voi il calcolo.
Magari tutto questo ragionamento non c’entra niente con il quesito, in questo caso diciamo che ho proposto una variante “giocosa”.
