Quali sono i numeri primi p per cui 2p+1 sia un cubo?
(Bruno)
Flash
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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(Bruno)
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Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
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Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
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Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
Se i miei calcoli non sono clamorosamente sbagliati,il conto torna soltanto per n=3.
Dunque,abbiamo l'equazione
$\displaystyle 2p+1=n^3$,
con p primo e n intero.Quindi,
$\displaystyle 2p=n^3-1$
e scomponendo
$\displaystyle 2p=(n-1)(n^2+n+1)$. (1)
Ergo,siccome compare un due al primo membro,abbiamo che almeno uno dei due fattori al secondo membro deve essere pari(per inciso,siccome il due al primo membro moltiplica un numero primo,solo uno dei due termini al secondo membro può essere pari,altrimenti il loro prodotto dovrebbe essere multiplo di quattro e p dovrebbe essere pari,cosa manifestamente impossibile).Se fosse il secondo,
$\displaystyle n^2+n+1=2k$,
avremmo che
$\displaystyle n^2+n=2k-1$
e quindi
$\displaystyle n(n+1)=2k-1$=numero dispari.
Siccome il prodotto di due numeri consecutivi come n ed n+1 non é mai dispari(uno dei due é sicuramente pari,ergo il loro prodotto é pari),concludiamo che solo il primo fattore al secondo membro(alias n-1) é pari e quindi n deve essere dispari,come effettivamente predetto da Delfo parecchie espressioni fa(me ne accorgo solo adesso...dalla Matematica Intuitiva c'é sempre molto da imparare).
Dicevamo che n-1 é pari
$\displaystyle n-1=2k$ e $\displaystyle n=2k+1$;
sostituendo a n nella (1) abbiamo che
$\displaystyle 2p=2k(4k^2+4k+1+2k+1+1)$
e semplificando
$\displaystyle p=k(4k^2+6k+1)$
Ma un momento!Abbiamo che p,per definizione un numero primo,é il prodotto di due numeri diversi da 1 e da p stesso:se k non é uguale a 1(in tal caso il secondo fattore $\displaystyle (4k^2+6k+1)$ diventa 11,che guardacaso un numero primo lo é davvero),si cade in una evidente contraddizione.L'unica soluzione é pertanto k=1 e quindi n=2k+1=3 e quindi
$\displaystyle p=\frac{n^3-1}{2}=13$
Come direbbe Bruno,"salvo errori,omissioni o boiate",direi che "questo é Quanto",come direbbe Planck
Forse esistono soluzioni più eleganti o meno pedanti,ma a quest'ora é il meglio che riesco a fare...Stavolta un gelatino me lo sono meritato?Almeno come consolazione per il ritorno del periodo scolastico e delle sue tristi incombenze...addio,vacanza
Salutoni a tutti i basecinquini,
0-§
Dunque,abbiamo l'equazione
$\displaystyle 2p+1=n^3$,
con p primo e n intero.Quindi,
$\displaystyle 2p=n^3-1$
e scomponendo
$\displaystyle 2p=(n-1)(n^2+n+1)$. (1)
Ergo,siccome compare un due al primo membro,abbiamo che almeno uno dei due fattori al secondo membro deve essere pari(per inciso,siccome il due al primo membro moltiplica un numero primo,solo uno dei due termini al secondo membro può essere pari,altrimenti il loro prodotto dovrebbe essere multiplo di quattro e p dovrebbe essere pari,cosa manifestamente impossibile).Se fosse il secondo,
$\displaystyle n^2+n+1=2k$,
avremmo che
$\displaystyle n^2+n=2k-1$
e quindi
$\displaystyle n(n+1)=2k-1$=numero dispari.
Siccome il prodotto di due numeri consecutivi come n ed n+1 non é mai dispari(uno dei due é sicuramente pari,ergo il loro prodotto é pari),concludiamo che solo il primo fattore al secondo membro(alias n-1) é pari e quindi n deve essere dispari,come effettivamente predetto da Delfo parecchie espressioni fa(me ne accorgo solo adesso...dalla Matematica Intuitiva c'é sempre molto da imparare).
Dicevamo che n-1 é pari
$\displaystyle n-1=2k$ e $\displaystyle n=2k+1$;
sostituendo a n nella (1) abbiamo che
$\displaystyle 2p=2k(4k^2+4k+1+2k+1+1)$
e semplificando
$\displaystyle p=k(4k^2+6k+1)$
Ma un momento!Abbiamo che p,per definizione un numero primo,é il prodotto di due numeri diversi da 1 e da p stesso:se k non é uguale a 1(in tal caso il secondo fattore $\displaystyle (4k^2+6k+1)$ diventa 11,che guardacaso un numero primo lo é davvero),si cade in una evidente contraddizione.L'unica soluzione é pertanto k=1 e quindi n=2k+1=3 e quindi
$\displaystyle p=\frac{n^3-1}{2}=13$
Come direbbe Bruno,"salvo errori,omissioni o boiate",direi che "questo é Quanto",come direbbe Planck
Forse esistono soluzioni più eleganti o meno pedanti,ma a quest'ora é il meglio che riesco a fare...Stavolta un gelatino me lo sono meritato?Almeno come consolazione per il ritorno del periodo scolastico e delle sue tristi incombenze...addio,vacanza
Salutoni a tutti i basecinquini,
0-§
Lo scopo principale di una dichiarazione DATA è quello di dare dei nomi alle costanti; anziché inserire ogni volta 3.141592653589793 come valore di $\pi$, con una dichiarazione DATA si può assegnare tale valore alla variabile PI che può essere poi usata per indicare la costante. Ciò rende anche più semplice modificare il programma, qualora il valore di $\pi$ dovesse cambiare.
-Da un vecchio manuale FORTRAN della Xerox
-Da un vecchio manuale FORTRAN della Xerox
...
Bravo, 0-§! e ben tornato
(Bruno)
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(Bruno)
(Bruno)
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