Che fatto(riale) rapporto!

[Bruno]

...

Contrariamente al mio solito, vi propongo un quiz
che non ho ancora avuto l'occasione di risolvere
(più che altro perché non mi è venuta in mente subito
nessuna spididea e il tempo è poco).
Mi sembra però carino.

Abbiamo questo rapporto: $\;\alpha = \frac{2\cdot4\cdot6\cdot8\, ... \, 2004\cdot 2006}{1\cdot3\cdot5\cdot7\, ... \, 2003\cdot 2005}\,.$

Indicare quale di queste affermazioni è giusta:

${\small 1)}\;\alpha \,<\, \sqrt[\script 4]{2006} \\ {\small 2)}\;\sqrt[\script 4]{2006} \,<\, \alpha \,<\, \sqrt[\script 3]{2006} \\ {\small 3)}\;\sqrt[\script 3]{2006} \,<\,\alpha \,<\, \sqrt{2006} \\{\small 4)}\;\sqrt{2006}\,<\, \alpha \,<\, 2006 \\ {\small 5)}\;2006 \,<\, \alpha\,.$


PS - Ops... resterebbero ancora questo e questo da risolvere

Un saluto a tutti!


Bruno

[Quelo]

E' giusta la quarta:

${\small 4)}\;\sqrt{2006}\,<\, \alpha \,<\, 2006$

[Quelo]

[Bruno]

...

Ottimo, Quelo!
Ma... perché è giusta la IV?

[Quelo]

Trucchetto, ho tracciato il grafico dei primi cento valori e cresce più velovcemente di $\sqr{n}$ ma più lentamente di $n$, di conseguenza per ogni $n$ intero e pari $\sqr{n}\,<\,\alpha\,<\,n$

[panurgo]

I prodotti

$2 \times 4 \times 6 \times \cdots \times 2n = \left( {2n} \right)!!$

e

$1 \times 3 \times 5 \times \cdots \times 2n - 1 = \left( {2n - 1} \right)!!$

sono noti come semifattoriali o doppi fattoriali.

Per essi valgono le seguenti relazioni

$n!!\left( {n - 1} \right)!! = n! \\ \left( {2n} \right)!! = 2^{\script n} n! \\ \left( {2n - 1} \right)!! = \frac{{\left( {2n} \right)!}}{{2^{\script n} n!}}$

e quindi

$\alpha = \frac{{\left( {2n} \right)!!}}{{\left( {2n - 1} \right)!!}} = \frac{{2^{\script 2n} n!^ {\script 2} }}{{\left( {2n} \right)!}} = \frac{{2^{\script 2n} }}{{\left( {\begin{array}{c} {2n} \\ n \\ \end{array}} \right)}}$

passando ai logaritmi

$\log \alpha = 2n\log 2 + 2\log n! - \log \left( {2n} \right)!$

e utilizzando l'approssimazione di Stirling

$2\log n! \approx 2n\log n - 2n + \log \left( {2\pi n} \right) \\ \log \left( {2n} \right)! \approx 2n\log \left( {2n} \right) - 2n + \frac{1}{2}\log \left( {4\pi n} \right)$

si ottiene

$\log \alpha \approx \frac{1}{2}\log \left( {\pi n} \right)\quad \Rightarrow \quad \sqrt {2n} < \alpha \approx \sqrt {\pi n} < 2n$

[Bruno]

...

Questo significa dimostrare un quesito
Come se si avessero a disposizione solo
carta e penna, e ovviamente buone idee!
Grazie Panurgo!

Chissà se ci sono altre vie per trattare
il problema...

Buon fine settimana a tutti!


Bruno

[panurgo]

Giorni fa avevo visto di passata il doppio fattoriale su wikipedia (http://it.wikipedia.org/wiki/Fattoriale) e mi è tornato in mente: ho trovato le proprietà citate qui http://mathworld.wolfram.com/DoubleFactorial.html...


...certo con carta e penna (e testa) sarebbe stata un'altra cosa

[Bruno]

...

Ho provato a pensare anch'io al problema, che ho
inizialmente proposto senza averlo risolto, e mi è
saltato fuori questo (dopo un po' di tentativi ipotesi
fantasie...)

Il fatto che sia $\, \alpha\,\, \sqrt{2006}\,$, invece, considero
la disuguaglianza:

$\frac{n}{n-1}\,>\,\sqrt{\frac{n+1}{n-1}}$

che si dimostra facilmente per $\,n\,>\,1$.
(Sono arrivato a questa disuguaglianza mentre
cercavo di stabilire un ordine fra i rapporti in cui
può essere scomposta $\,\alpha\,$, rispetto ad altri rapporti
che mi aiutassero a trattare meglio la questione.)

Quindi, faccio variare $\,n\,$ fra tutti i numeri pari fino
a $\,2006$:

$\frac{2}{1}\,>\,\sqrt{\frac{3}{1}} \\ \frac{4}{3}\,>\,\sqrt{\frac{5}{3}} \\ \frac{6}{5}\,>\,\sqrt{\frac{7}{5}} \\ \frac{8}{7}\,>\,\sqrt{\frac{9}{7}} \\\,\\\,\\\cdot \\ \cdot \\ \cdot \\\,\\\, \\\frac{2006}{2005}\,>\,\sqrt{\frac{2007}{2005}}.$

Moltiplicando membro a membro queste disuguaglianze
con termini positivi, ottengo:

$\alpha \,=\, \frac{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8\cdot\,\cdot\cdot\cdot\,\cdot 2006}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot\,\cdot\cdot\cdot\,\cdot 2005}\,>\, \sqrt{\frac{3\cdot 5\cdot 7\cdot 9\cdot\,\cdot\cdot\cdot\,\cdot 2007}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot\,\cdot\cdot\cdot\,\cdot 2005}}\,=\,\sqrt{2007} \,>\,\sqrt{2006}\;\;$

Naturalmente, come quello di Panurgo, anche questo
procedimento può essere esteso a un generico numero
pari.

- Se&o


(Bruno)