Multipli

[Bruno]

A)

Il numero naturale (9a-1)·10ª+1 è sempre divisibile per 81.

[Bruno]

B)

Il numero intero n(n+1)(n²-7n+14) è sempre divisibile per 8.

[Bruno]

C)

Il numero intero n(n+1)(5n+4) è sempre divisibile per 6.


(Bruno)

[Tino]

Ciao Bruno! Ma dove li trovi tutti questi bei problemini?

Provo il primo.

Per induzione.
$a=1 \Rightarrow (9a-1)10^a+1=81$.

Se vale per $a \in \mathbb{N}$ allora

$(9(a+1)-1)10^{a+1}+1=(9a-1) \cdot 10 \cdot 10^a+90 \cdot 10^a+10-10+1=10[(9a-1)10^a+1]+9(10^{a+1}-1)$

Per ipotesi induttiva basta mostrare che $10^{a+1}-1$ e' divisibile per 9. E questo e' vero: si puo' valutare modulo 9 o notare che il polinomio $x^n-1$ e' divisibile per il polinomio $x-1$.

...che dire della successione $a_n \equiv \frac{(9n-1)10^n+1}{81}=a_{n-1}+1+10+...+10^{n-1}$? Forse niente

[Bruno]

...

Ottimo Tino!

(...) Ma dove li trovi tutti questi bei problemini? (...)

Mi fa piacere che ti piacciano
Be', li trovo un po' dappertutto: spulciando fra i quiz
delle Olimpiadi della Matematica, in una raccolta di
antichi Supplementi al Periodico di Matematica che
giaceva dimenticata in una cantina, in altri forum etc.

...che dire della successione $a_n \equiv \frac{(9n-1)10^n+1}{81}=a_{n-1}+1+10+...+10^{n-1}$?

...con il segno $\,\equiv\,$ intendi forse $\, =\,$?


Sotto con gli altri


Bruno

[Tino]

con il segno $\,\equiv\,$ intendi forse $\, =\,$?

Si, diciamo che intendo "$:=$" mi sono affezionato a "$\equiv$" quando il mio docente di analisi reale nel definire le funzioni scriveva (per esempio):

"sia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definita da $f(x) \equiv ...$"

Nel frattempo, provo il terzo:

esattamente uno tra n e n+1 è pari, quindi abbiamo la divisibilità per 2. Per provare quella per 3, considero i casi possibili: se n è multiplo di 3 sono a posto, se n+1 è multiplo di 3 sono a posto, se non vale nessuno di questi due casi allora n+2 è multiplo di 3, e quindi lo è anche 3n+2(n+2)=5n+4.

Ciao ciao!

[delfo52]

trovo la risposta di Tino estremamente elegante

[Admin]

Condivido il tuo pensiero delfo!

in effetti mi accingevo a postare la mia soluzione al 3° quesito, che scomodava Fermat, ma poi ho visto l'elegante risposta di Tino e nulla...

a questo punto provo a rispondere al 2°:

B)

Se $n$ è pari riscriviamo il prodotto nella forma

$n(n^3-6n^2+7n+14)$

a questo punto:

• se $n$ è pari e multiplo di 8 il problema è risolto;
• se $n$ è pari e multiplo di 4 ma non di 8 ($n=4k$ con $k$ dispari), dobbiamo dimostrare che il fattore $(n^3-6n^2+7n+14)$ è divisibile per 2;
  il che si evince immediatamente andando a sostituire $4k$ ad $n$;
• se $n$ è pari ma non multiplo di 4 ($n=2k$ con $k$ dispari), bisogna dimostrare che $(n^3-6n^2+7n+14)$ è divisibile per 4;
  sostituendo $n=2k$ si ottiene $(8k^3-24k^2+14k+14)$;
  deve essere $8k^3-24k^2+14k+14\equiv 0\,\pmod4$;
  semplificando si ottiene
  $14k+14\equiv 0\,\pmod4\,\rightarrow\,14(k+1)\equiv0\,\pmod4$
  essendo $k$ dispari, $k+1$ è pari e quindi $14(k+1)$ è divisibile per 4, e quindi lo è tutto il fattore;
• se $n$ è dispari ($n=2k+1$) dobbiamo dimostrare che
  $n^3-6n^2+7n+14\equiv0\,\pmod8$
  sostituiamo ad $n$, $2k+1$; si ottiene dopo alcune semplificazioni:
  $8k^3-12k^2-4k+16\equiv0\,\pmod8$
  essendo $8k^3$ e $16$ divisibili per 8 resta:
  $-12k^2-4k\equiv0\,\pmod8\,\Rightarrow\,-4(3k^2+k)\equiv 0\,\pmod8$
  da cui si evince chiaramente che $3k^2+k$ è sempre divisibile per 2 per ogni $k$ intero;
  quindi $-4(3k^2+k)$ è divisibile per 8 e quindi lo è tutto il fattore.

Certo non è elegante come quella di Tino, ma non ho trovato di meglio!

SE&O
Admin

[Tino]

Oh... troppo buoni in genere ragionando per congruenze i problemi di divisibilita' si facilitano parecchio! (cioe' magari poi senza usare esplicitamente le congruenze se possibile, ma l'idea e' quella)

Io per il secondo avevo pensato cosi':

Sia $f(n) := n(n+1)(n^2-7n+14)$

Allora $f(n) \equiv n(n+1)(n^2+n-2)\ mod(8)$

Il polinomio $n^2+n-2$ si scompone come $(n-1)(n+2)$ e quindi ho

$f(n) \equiv (n-1)n(n+1)(n+2)\ mod(8)$

Quindi basta mostrare che il prodotto di quattro numeri interi consecutivi e' multiplo di 8. Ma questo e' vero perche' di questi quattro numeri certamente uno e' multiplo di 4 e uno e' pari non multiplo di 4 (uno e' congruo a 0, uno a 2 modulo 4) quindi nel fare il prodotto posso raccogliere un $4 \cdot 2 = 8$

[Bruno]

...

B r A v I s S i M i !

Si, diciamo che intendo "$:=$" (...)

Ok, come pensavo.
Probabilmente, però, la successione:

$a_n = \frac{(9\cdot n-1)\cdot 10^n+1}{81}=a_{n-1}+1+10+...+10^{n-1}$

dovrebbe essere questa:

$a_n = \frac{(9\cdot n-1)\cdot 10^n+1}{81}=a_{n-1}+n\cdot 10^{n-1}\; .$

Pensavi a questo, forse?

(...) in genere ragionando per congruenze i problemi di divisibilita' si facilitano parecchio!

...sì, è vero: le congruenze possono
facilitare molto le cose, magari fino a
rendere meccanici i passaggi.
A me, però, piacciono di più i metodi
come quello che Tino ha utilizzato per
il secondo quiz ed è così che di solito
tratto le questioni del genere.
Mi sembra di entrare meglio nel
problema, nella proprietà indicata...
Resto comunque ammirato - sempre -
per gli approcci di Pietro: si vede che
si esercita e gli piace molto farlo
Grande!

A presto.


Bruno

[Bruno]

A)

Il numero naturale (9a-1)·10ª+1 è sempre divisibile per 81.

Riguardando il problema, mi è appena venuta
in mente questa risoluzione alternativa.
Per a = 0 e a = 1, la verifica della proprietà
è immediata.
Per a > 1, possiamo senz'altro scrivere:
10ª = (9+1)ª = 81k+9a+1, per un certo k.
Dunque: (9a-1)·10ª+1 = 81k(9a-1)+81a².

[Tino]

Probabilmente, però, la successione:

$a_n = \frac{(9\cdot n-1)\cdot 10^n+1}{81}=a_{n-1}+1+10+...+10^{n-1}$

dovrebbe essere questa:

$a_n = \frac{(9\cdot n-1)\cdot 10^n+1}{81}=a_{n-1}+n\cdot 10^{n-1}\; .$

Pensavi a questo, forse?

Aspetta, forse troviamo un punto di contatto: avevo scordato che c'e' un 10 che moltiplica $a_{n-1}$.

$a_n=10a_{n-1}+\frac{10^n-1}{9}\\ a_1=1$

Ne evinco che la mia interpretazione equivale alla tua se

$10a_{n-1}+\frac{10^n-1}{9}=a_{n-1}+n \cdot 10^{n-1}$

ovvero

$9a_{n-1}=n \cdot 10^{n-1}-\frac{10^n-1}{9} \\ (9(n-1)-1)10^{n-1}+1=9n \cdot 10^{n-1}-10^n+1$

che e' un'identita', sempre verificata.

[Bruno]

...

Bene, Tino: adesso sì che mi torna tutto!
Quel 10 faceva la sua brava differenza
e quindi non rendeva verificata la tua
definizione
Ottimo.

Ciao!

[Admin]

Ottimo Tino!
Bella e semplice anche la tua soluzione al secondo;
non ci avevo proprio pensato!

ti rinnovo i miei complimenti!

Ciao
Admin

[Bruno]

...

Mi unisco ai complimenti per Tino


Bruno