Unduettré

[Bruno]

uNo


Tagliamo una sfera di raggio r con un piano, in modo
che il volume di uno dei segmenti sferici abbia un
rapporto t con il cono inscritto nell'altro segmento.

Se r è razionale, come dobbiamo prendere t affinché
anche l'altezza del cono sia razionale?

[Bruno]

DuE


$S_1, \, S_2, \, S_3, \,$ ed $\, S_4\,$ rappresentano, nell'ordine,
la somma dei primi $\,n\,$ numeri naturali, dei loro
quadrati, dei loro cubi e delle loro quarte potenze.

Dimostrare che i rapporti:

$\frac{S_1+8\cdot S_3}{S_2} \\\, \\ \frac{S_2+5\cdot S_4}{S_3}$

corrispondono a dei numeri interi, qualunque sia $\,n$.

[Bruno]

tRe


Esistono certamente dei numeri naturali di questo tipo:

$\sqrt{3+\sqrt[\script 3]{m}}+3^{\script m}\;\;$($m \in N$)

anzi: ne possiamo trovare un'infinità.

Bene. Come dev'essere $\,m\,$ affinché essi siano multipli
di 4? E poi: quante cifre ha il 2° numero naturale con
queste caratteristiche?


(Bruno)

[panurgo]

DuE


$S_1, \, S_2, \, S_3, \,$ ed $\, S_4\,$ rappresentano, nell'ordine,
la somma dei primi $\,n\,$ numeri naturali, dei loro
quadrati, dei loro cubi e delle loro quarte potenze.

Dimostrare che i rapporti:

$\frac{S_1+8\cdot S_3}{S_2} \\\, \\ \frac{S_2+5\cdot S_4}{S_3}$

corrispondono a dei numeri interi, qualunque sia $\,n$.

I vari $S_{\script i}$ si calcolano con la formula ricorsiva

$\left\{S_{\script 0} = n + 1 \\ S_{\script p} = \frac{{S_{\script 0}^{\script p + 1} - \sum\limits_{\script i = 2}^{\script p + 1} {\left( {\begin{array}{c} {p + 1} \\ i \\ \end{array}} \right) S_{\script p + 1 - i} } }}{{p + 1}} \\ \right.$

cioè

$S_{\script 1} = \frac{{S_{\script 0}^{\script 2} - S_{\script 0} }}{2} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} \\ S_{\script 2} = \frac{{2S_{\script 0}^{\script 3} - 3S_{\script 0}^{\script 2} + S_{\script 0} }}{6} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6} \\ S_{\script 3} = \frac{{S_{\script 0}^{\script 4} - 2S_{\script 0}^{\script 3} + S_{\script 0}^{\script 2} }}{4} = \frac{{n^{\script 2} \left( {n + 1} \right)^ {\script 2} }}{4} \\ S_{\script 4} = \frac{{6S_{\script 0}^{\script 5} - 15S_{\script 0}^{\script 4} + 10S_{\script 0}^{\script 3} - S_{\script 0} }}{{30}} = \frac{{6n^{\script 5} + 15n^{\script 4} + 10n^{\script 3} - n}}{{30}}$

Sostituendo le espressioni si ottiene (con facile algebra )

$\frac{{S_{\script 1} + 8S_{\script 3} }}{{S_{\script 2} }} = 6n + 3 \\ \frac{{S_{\script 2} + 5S_{\script 4} }}{{S_{\script 3} }} = 4n + 2$

[Bruno]

...

Ottimo Panurgo!
E grazie, poi, per aver utilizzato quella formula
ricorsiva: non la ricordavo più
A me è capitato di riscrivere le somme dei quadrati,
dei cubi e dei 'biquadrati' in base a quella dei primi
numeri naturali e così ho calcolato i rapporti...

Bruno

[panurgo]

uNo


Tagliamo una sfera di raggio r con un piano, in modo
che il volume di uno dei segmenti sferici abbia un
rapporto t con il cono inscritto nell'altro segmento.

Se r è razionale, come dobbiamo prendere t affinché
anche l'altezza del cono sia razionale?

Il volume della calotta sferica vale

$V_{\script {\rm CS}} = \frac{\pi }{3}h^{\script 2} \left( {3r - h} \right)$

dove $h$ è l'altezza della calotta sferica stessa.

Il volume del cono opposto vale

$V_{\script {\rm CO}} = \frac{\pi }{3}h\left( {2r - h} \right)^{\script 2}$

poichè l'area di base del cono vale

$A_{\script {\rm CO}} = \pi \left[ {r^{\script 2}} - \left( {r - h} \right)^{\script 2} \right] = \pi h\left( {2r - h} \right)$

e l'altezza del cono vale

$h_{\script {\rm CO}} = 2r - h$

$t$ vale quindi

$t = \frac{{h\left( {3r - h} \right)}}{{\left( {2r - h} \right)^{\script 2} }}$

Esplicitando in funzione di $h$ si ottiene

$\left( {t + 1} \right)h^{\script 2} - \left( {4t + 3} \right)rh + 4tr^{\script 2} = 0$

e quindi

$h_{\script 1,2} = \frac{{\left( {4t + 3} \right) \pm \sqrt {8t + 9} }}{{2\left( {t + 1} \right)}}r$

Perchè $h$ sia razionale è necessario che il radicando sia il quadrato di un numero razionale

$8t + 9 = p^{\script 2} \quad p \in Z$

cioè, dato che $t \ge 0$ (è il rapporto di due volumi),

$t = \frac{{p^{\script 2} - 9}}{8}\quad \forall p:\left| p \right| > 3$

sosituendo si ha

$h_{\script 1,2} = 2\frac{{p^{\script 2} - 3 \pm 2p}}{{\left( {p + 1} \right)\left( {p - 1} \right)}}r = \left\{ 2\frac{{p + 3}}{{p + 1}}r \\ 2\frac{{p - 3}}{{p - 1}}r \right.$

La condizione $h \ge 0$ è sempre verificata se $\left| p \right| > 3$.

Resta da soddisfare la condizione $h \le r$

$h_{\script 1,2} = \left\{ 2\frac{{p + 3}}{{p + 1}}r \le r \\ 2\frac{{p - 3}}{{p - 1}}r \le r \right.\quad \Rightarrow \quad \left\{p \le - 5 \\ p \le 5 \right.$

ne consegue che

$h_{\script 1,2} = \left\{ 2\frac{{p + 3}}{{p + 1}}r\quad \forall p \le - 5 \\ 2\frac{{p - 3}}{{p - 1}}r\quad \forall p \in \left[ {3;5} \right] \right.$

e, per finire

$t = \frac{{p^{\script 2} - 9}}{8}\quad \forall p:p \le - 5,p \in \left[ {3;5} \right]$

[Quelo]

tRe


Esistono certamente dei numeri naturali di questo tipo:

$\sqrt{3+\sqrt[\script 3]{m}}+3^{\script m}\;\;$($m \in N$)

anzi: ne possiamo trovare un'infinità.

Bene. Come dev'essere $\,m\,$ affinché essi siano multipli
di 4? E poi: quante cifre ha il 2° numero naturale con
queste caratteristiche?

(Bruno)

Le potenze di 3 sono tutte dispari e si può dimostrare che

$3^{\script m}+1$ è multiplo di 4 per m dispari

$3^{\script m}+3$ è multiplo di 4 per m pari

di conseguenza

$3^{\script m}+1+q$ è multiplo di 4 per m dispari e q multiplo di 4

$3^{\script m}+3+p$ è multiplo di 4 per m pari e p multiplo di 4

però se m è dispari

$q=\sqrt{3+\sqrt[\script 3]{m}}-1$ è dispari

mentre se m è pari

$p=\sqrt{3+\sqrt[\script 3]{m}}-3$ è pari

quindi

$\sqrt{3+\sqrt[\script 3]{m}}+3^{\script m}$ è multiplo di 4 se

$m=((p+3)^2-3)^3$ dove p è l'insieme dei numeri naturali multipli di 4


Il secondo numero della serie si ha per m = 216 e ha 104 cifre

Il più piccolo numero multiplo di 4 è il sesto e si ha per m = 97336


E' giusto ?

[Quelo]

[panurgo]

Che tristezza...

Ho dimenticato di cambiare il verso della disuguaglianza moltiplicando per $\left( p \pm 1 \right)$ quando $p \le -3$: facendo le cose correttamente si ottiene

$\left\{ 2\frac{{p + 3}}{{p + 1}}r \le r\quad \Rightarrow \quad \left\{ \left[ {p \le - 5\quad \forall p \ge 3} \right] \\ p \ge - 5\quad \forall p \le - 3 \\ \right. \\ 2\frac{{p - 3}}{{p - 1}}r \le r\quad \Rightarrow \quad \left\{ p \le 5\quad \forall p \ge 3 \\ \left[ {p \ge 5\quad \forall p \le - 3} \right] \right.$

dove le condizioni tra parentesi quadre sono assurde.

Ecco che si ripristina la simmetria implicita nella differenza di quadrati

$t = \frac{{p^{\script 2} - 9}}{8}\quad \forall p:\left| p \right| \in \left[ {3;5} \right]$

Inoltre, nulla nel problema proposto impedisce che $r \le h \le 2r$ (come io avevo implicitamente ritenuto): se si ammette questa condizione meno restrittiva si ha

$h_{\script 1,2} = \left\{ 2\frac{{p + 3}}{{p + 1}}r \le 2r \\ 2\frac{{p - 3}}{{p - 1}}r \le 2r \right.\quad \Rightarrow \left\{ \frac{{p + 3}}{{p + 1}} \le 1\quad \Rightarrow \left\{ \left[ {3 \le 1\quad \forall p \ge 3} \right] \\ 3 \ge 1\quad \forall p \le - 3 \right. \\ \frac{{p - 3}}{{p - 1}} \le 1\quad \Rightarrow \left\{ - 3 \le - 1\quad \forall p \ge 3 \\ \left[ { - 3 \ge - 1\quad \forall p \le - 3} \right] \right. \right.$

In questo caso la soluzione è

$t = \frac{{p^{\script 2} - 9}}{8}\quad \forall p:\left| p \right| \ge 3$

Per farmi perdonare, vi mostro una curiosità: quando $h = r$ i volumi del cono, della calotta sferica e del cilindro



stanno nelle proporzioni $1:2:3$...

[Bruno]

...

Per Quelo

In altre parole, p+3 deve precedere di un'unità
un multiplo di 4.
Mi è piaciuto il tuo ragionamento, sai?
Se non sbaglio, però, è per m = 97336 che abbiamo
il secondo numero con la forma indicata e al tempo
stesso multiplo di 4: ti torna?
Bravo!


Per Panurgo

Grande, sempre e comunque
Eh, sì... la bella proprietà che hai indicato alla fine è
quella a cui lo stesso Archimede ha dedicato una delle
sue opere più celebri ed emozionanti.
Grazie!

A presto,

Bruno


Edit: Scritto p+3 al posto di un' m.

[Quelo]

...
Se non sbaglio, però, è per m = 97336 che abbiamo
il secondo numero con la forma indicata e al tempo
stesso multiplo di 4: ti torna?

A me risulta così

Posto $n=\sqrt{3+\sqrt[\script 3]{m}}$, dovra essre ($n \in N$) di conseguenza

$\exists m=(n^2-3)^3 \forall n \ge 2$

da cui
n=2, m=1, primo termine
n=3, m=216, secondo termine
n=4, m=2197, terzo termine
...
n=7, m = 97336 = ((4+3)^2-3)^3, sesto termine, primo multiplo di 4

questo termine ha 46442 cifre

[Bruno]

A me risulta così

Posto $n=\sqrt{3+\sqrt[\script 3]{m}}$, dovra essre ($n \in N$) di conseguenza

$\exists m=(n^2-3)^3 \forall n \ge 2$

da cui
n=2, m=1, primo termine
n=3, m=216, secondo termine
n=4, m=2197, terzo termine
...
n=7, m = 97336 = ((4+3)^2-3)^3, sesto termine, primo multiplo di 4

...forse, Quelo, c'è stato malinteso, probabilmente causato da
una mia svista nel mio post precedente.
Vediamo un po'...
Il quiz chiedeva di identificare gli m che rendessero divisibile
per 4 il numero naturale:

$\sqrt{3+\sqrt[\script 3]{m}}+3^{\script m}$

e la risposta è quella che hai bene illustrato tu: m dev'essere
un numero naturale del tipo [(4h+3)²-3]³ (o [(4k-1)²-3]³).
Il più piccolo m è (3²-3)³ = 216, a cui corrisponde:

$\sqrt{3+\sqrt[\script 3]{216}}+3^{\script 216} = 3+3^{\script 216}$

che è divisibile per 4, perciò è il primo numero con le caratteristiche
indicate.
L' m successivo è (7²-3)³ = 97336, a cui corrisponde:

$\sqrt{3+\sqrt[\script 3]{97336}}+3^{\script 97336} = 7+3^{\script 97336}$

cioè il secondo numero del tipo richiesto.
Ovviamente, se non consideriamo la divisibilità per 4 (che tuttavia
era uno dei due requisiti), l'ultimo numero trovato è il 6° con la
forma:

$\sqrt{3+\sqrt[\script 3]{a}}+3^{\script a}$.

Cosa ne dici, Quelo, può andar meglio adesso?

[Quelo]

Errore, mio. Avevo inteso male il quesito. Ora è chiaro e confermo la tua risposta.