Omaggio a Bombelli...

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Omaggio a Bombelli...

Messaggio da Admin »

Sembrerà strano, ma nella biblioteca comunale del mio paesino, ho trovato

"L'algebra" di Bombelli
prima edizione integrale
prefazioni di Ettore Bortolotti e di Umberto Forti
datato 1966

:P

E' un'opera che merita davvero di essere letta.

pertanto volevo riportare uno dei tanti problemi presenti in esso, davvero interessante:

Trovinsi dui numeri tali che al quadrato di qual si voglia di loro gionto la somma loro faccia quadrato

(ovviamente i numeri devono essere razionali!)

P.S. x Bruno: mi sembra di ricordare che possiedi il libro; quindi non sbirciare! :D

Ciao
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Bruno
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Messaggio da Bruno »

...

Grande Pietro!

Eh, sì... l'Algebra di Bombelli merita proprio di essere
conosciuta.
Quando mi capitò fra le mani, una ventina d'anni fa,
ne rimasi subito affascinato, anche perché non mi era
ancora successo di leggere un testo di matematica (non
tradotto o rimaneggiato) di quasi mezzo millennio fa!
Mi sembrava un libro di prelibate ricette: monti bene
quattro tuorli con 120 grammi di zucchero a velo,
aggiungi 100 grammi di farina e la vanillina...
Splendido!
Ho cercato di risolvere molti dei problemi trattati
(naturalmente senza sbirciare...), provando a seguire
i metodi proposti da Bombelli e poi tentando una strada
mia (possibilmente non scolastica) e devo dire che il
tutto si è dimostrato davvero istruttivo!

Pietro, ne approfitto per suggerirti un altro libro (se non l'hai
già letto) che secondo me è imperdibile: è stato scritto da
Ettore Picutti e s'intitola "Sul numero e la sua storia" (ed.
Feltrinelli Economica). Mi è tornato sotto il naso qualche
giorno fa. Grazie al suo impianto storico, permette di
sbirciare nei metodi dei matematici del passato, suscitando
talvolta lo stesso stupore che probabilmente hai provato
(stai provando) sopra l'Algebra di Bombelli.

La questione che ci proponi (se non sbaglio, è la LXXXIII del
Libro terzo) potrei risolverla anche così.

Chiamo x uno dei due numeri e y la loro somma.
Risolvo in razionali questa uguaglianza:

x^{\script 2}+y = p^{\script 2}

scrivendo:

(p-x)(p+x) = y

e ponendo:

p-x = \frac{y}{h} \\ p+x= h

per un h intero o razionale non nullo, da cui ricavo:

x = \frac{h^{\script 2}-y}{2h}.

Quindi passo all'altra uguaglianza:

(y-x)^{\script 2}+y = q^{\script 2}

da cui ricavo (procedendo come sopra, ma senza
bisogno di rifare i passaggi):

y-x = \frac{k^{\script 2}-y}{2k}

per un k intero o razionale non nullo.

La somma di x e y-x dà:

y = \frac{hk(h+k)}{2hk+h+k}

e quindi trovo, finalmente, i "dui" numeri richiesti:

x = \frac{2h^{\script 2}k+h^{\script 2}-k^{\script 2}}{2(2hk+h+k)}

y-x = \frac{2k^{\script 2}h+k^{\script 2}-h^{\script 2}}{2(2hk+h+k)}

scegliendo un \, k \neq -\frac{h}{2h+1}.

Per h=1 e k=2, per esempio, abbiamo:

\(\frac{1}{14}\)^{\script 2}+\(\frac{1}{14}+\frac{11}{14}\) = \(\frac{13}{14}\)^{\script 2} \\ \(\frac{11}{14}\)^{\script 2}+\(\frac{1}{14}+\frac{11}{14}\) = \(\frac{17}{14}\)^{\script 2}.

(Se&o)

Sto scrivendo da un pc 'in prestito', quindi volo...
Ciao a tutti :D


Bruno
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Alan
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Re: Omaggio a Bombelli...

Messaggio da Alan »

Admin ha scritto:Trovinsi dui numeri tali che al quadrato di qual si voglia di loro gionto la somma loro faccia quadrato
Perdonate l'ignoranza, ma non ho capito il problema: bisogna trovare due numeri tali che... cosa? :?

Grazie a chi fornirà spiegazioni. :D



Alan

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Messaggio da Admin »

Ciao Alan,
tradotto in Italiano contemporaneo suona così:

"Si trovino 2 numeri x e y tali che se aggiungiamo al quadrato di uno qualsiasi di loro (x^2 o y^2), la loro somma (x+y), si abbia ancora un quadrato"
(i due numeri devono essere razionali)

Beh, la definizione di Bombelli è senz'altro più affascinante.

x Bruno:

mi piace il tuo metodo di risoluzione, peraltro molto più semplice di quello che ho utilizzato io;
Ti ringrazio anche per il libro che mi hai segnalato;
tuttavia, sembra di difficile reperibilità;
sai dove è possibile acquistarlo?

Ciao
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Bruno
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Messaggio da Bruno »

...

Ciao Pietro!

Riguardo al libro di Picutti, purtroppo temo che non
sia facile trovarlo in commercio.
Più facile, forse, è trovarlo in una biblioteca.
Però posso dirti questo: sarei ben lieto di prestartelo
e lasciartelo leggere in tutta tranquillità :D

Riguardo al problema di Bombelli, sono veramente
interessato al tuo metodo, ma proprio molto, e non
preoccuparti se ti sembra più lungo o meno semplice.
Per la stessa ragione mi incuriosiscono eventuali
altre proposte risolutive.

Bruno
(Bruno)

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Alan
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Messaggio da Alan »

Admin ha scritto:Beh, la definizione di Bombelli è senz'altro più affascinante.
Grazie per la traduzione, ma -ti dirò- personalmente preferisco la versione in italiano corrente. De gustibus... ;)



Alan

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Messaggio da Admin »

Ciao Bruno,
ti ringrazio di cuore per la disponibilità, ma non ti preoccupare;
vedo se riesco a rintracciarlo in qualche biblioteca limitrofa.

Quanto al mio procedimento, è il seguente:

in pratica il problema chiede di risolvere il sistema

\lef{x^{\script2}+x+y=a^{\script2} \\ y^{\script2}+x+y=b^{\script2}

ora il primo membro di entrambe le equazioni deve essere un quadrato, per cui si deve avere

\lef{(x+n)^{\script2}=a^{\script2} \\ (y+m)^{\script2}=b^{\script2}

quindi mettendo a confronto i due sistemi si ottiene

\lef{x+y=2nx+n^{\script2} \\ x+y=2my+m^{\script2}

ci calcoliamo y dalla 1° equazione:

y=(2n-1)x+n^{\script2}

e lo sostituiamo nella 2°:

x+(1-2m)y=m^{\script2}\quad\Rightarrow\quad x+(1-2m)[(2n-1)x+n^{\script2}]=m^{\script2}

dopo alcune semplificazioni si ottiene:

x=\frac{m^{\script2}-n^{\script2}+2mn^{\script2}}{2n+2m-4mn}

A questo punto scegliendo due valori razionali per m ed n, ci ricaviamo x ed y.

Ad es. con m=3 e n=\frac{1}{2} si ha:

x=\frac{41}{4}
y=\frac{1}{4}

ossia

\left{\(\frac{41}{4}\)^{\script2}+\(\frac{41}{4}\)+\(\frac{1}{4}\)=\(\frac{43}{4}\)^{\script2}\\ \(\frac{1}{4}\)^{\script2}+\(\frac{41}{4}\)+\(\frac{1}{4}\)=\(\frac{13}{4}\)^{\script2}

Ciao
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Bruno
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Messaggio da Bruno »

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Wow... mi piace :D

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