Calzini al contrario

[panurgo]

Vi giro questo divertente e abbordabile quesito tratto da Rudi Mathematici di questo mese (http://www.rudimathematici.com/archivio/091.pdf)

2.1 Calzini al contrario

Uno dei nostri “Quick & Dirty” preferiti non è mai stato pubblicato, in quanto è arcinoto nel mondo della ricreazione matematica:

In un cassetto ci sono un certo numero di calzini blu e un certo numero di calzini rossi; voi siete al buio, e vorreste uscire di casa con i calzini dello stesso colore. Quanti ne estraete dal cassetto per essere sicuri che almeno due siano uguali?

Se non lo conoscete, per punizione provate a risolverlo.

Comunque, il problema è un altro: infatti un mattacchione, qualche tempo fa, ha “girato al contrario” la cosa. Quanti calzini (rossi e blu) ci sono come minimo, nel cassetto se, estraendone due a caso:

• 1. La probabilità che siano entrambi rossi è 1/3 e la probabilità che siano entrambi blu è 1/6
  2. La probabilità che siano entrambi rossi è 1/2 e la probabilità che siano entrambi blu è 1/12
  3. La probabilità che siano entrambi rossi è 1/2 e la probabilità che siano entrambi blu è 1/14

Non solo, ma qualche tempo dopo aggiungete un certo numero di calzini verdi; indipendentemente dalle nostre considerazioni sul vostro pessimo gusto nella scelta dei colori, quanti calzini (rossi, verdi e blu) ci sono nel cassetto (sempre come minimo) se, estraendone due a caso:

• 1. La probabilità che siano entrambi rossi è 1/3 e la probabilità che siano entrambi blu è 1/15
  2. La probabilità che siano entrambi rossi è 1/5 e la probabilità che siano entrambi blu è 1/15
  3. La probabilità che siano entrambi rossi è 1/6 e la probabilità che siano entrambi blu è 1/12
  4. La probabilità che siano entrambi rossi è 1/8 e la probabilità che siano entrambi blu è 1/12

Se volete divertirvi, potreste provare a vedere quanti calzini per tipo ci sarebbero se, genericamente, le probabilità di estrazione fossero 1/a e 1/b, sempre per entrambi i casi.

...e poi la gente si chiede perché tutti i miei calzini sono bianchi...

[Quelo]

Supponiamo di avere x calzini di un colore e y di un altro, il cassetto conterrà n = x+y calzini. Le combinazioni di 2 calzini su n sono

$C_n=\frac{n(n-1)}{2}$

le combinazioni di 2 calzini di colore x o y sono

$C_x=\frac{x(x-1)}{2}$
$C_y=\frac{y(y-1)}{2}$

le probabilità di prendere due calzini di colore x o y sono

$P_x=\frac{x(x-1)}{n((n-1)}=\frac{1}{a}$
$P_y=\frac{y(y-1)}{n((n-1)}=\frac{1}{b}$

Questo è un sistema di due equazioni in due incognite che dovrebbe essere famcilmente risolvibile (almeno credo).

[panurgo]

La strada passa per di là... ci sono tuttavia più informazioni di quelle che stai usando