Una serie di radici...

[Admin]

Volevo proporre la seguente serie:

$(2-1)+(\sqr2-1)+(\sqr[3]2-1)+(\sqr[4]2-1)+\cdot\cdot\cdot+(\sqr[n]2-1)+\cdot\cdot\cdot$

secondo voi è convergente?
perchè?
se si, a quanto converge?

Ciao
Admin

[Pasquale]

Il termine generico della sommatoria è

$2^{\frac {1}{n}}-1$

che tende a zero, per cui direi che la serie converge.

Non mi è riuscito finora di individuare una strategia di calcolo, ma dando lavoro al mio p.c. ho visto che la sommatoria stenta a raggiungere il 13.

[Quelo]

Con 10 miliardi di termini la somma è di 16,8342479015963 con un contributo degli utlimi 100.000 termini pari a 0,0000069313443

Potrebbe non convergere ?

Quando ho tempo aggiungo qualche altro miliardo di termini.

[Admin]

Anch'io ho il sospetto che possa divergere...

[Quelo]

Altri 10 miliardi

$\sum_{n=1}^{20.000.000.000}{2^{\frac{1}{n}}-1}=17,3147043811073$

$\sum_{n=19.999.900.000}^{20.000.000.000}{2^{\frac{1}{n}}-1}=0,0000034656722$

secondo me diverge.

[delfo52]

il fatto che il contributo degli ultimi centomila termini prima di diecimiliardi e prma di ventimiliardi siano esattamente uno il doppio dell'altro, è
1-una cosa strana
2-un effetto del grado di precisione dei calcoli
3-una prova dell'esistenza dei marziani
????????????

[panurgo]

Non garantisco per questa soluzione trovata tra mezzanotte e le due! (:evil: accidenti, Pietro: vuoi proprio rovinarmi il sonno con i tuoi quesiti...)

Consideriamo il seguente binomio

$\left( {1 + \frac{1}{{2n}}} \right)^{\script n}$

sviluppiamolo secondo Newton

$\left( {1 + \frac{1}{{2n}}} \right)^{\script n} = \sum\limits_{\script k = 0}^{\script n} {\left( {\begin{array}{c} \\ n \\ k \\ \end{array}} \right)\frac{1}{{2^{\script k} n^{\script k}}}}$

prendiamo il termine $k$-esimo della somma

$\left( {\begin{array}{c}\\ n \\ k \\ \end{array}} \right)\frac{1}{{2^{\script k} n^{\script k}}} = \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right) \cdots \left( {n - k + 1} \right)}}{{k!}}\frac{1}{{2^{\script k} n^{\script k}}}$

e, con le opportune semplificazioni, otteniamo

$\left( {\begin{array}{c} \\ n \\ k \\ \end{array}} \right)\frac{1}{{2^{\script k} n^{\script k}}} = \frac{1}{{2^{\script k}}}\frac{{\left( {1 - \frac{1}{n}} \right)\left( {1 - \frac{2}{n}} \right) \cdots \left( {1 - \frac{{k - 1}}{n}} \right)}}{{k!}}$

I termini

$\left( {1 - \frac{1}{n}} \right),\left( {1 - \frac{2}{n}} \right), \cdots ,\left( {1 - \frac{{k - 1}}{n}} \right)$

sono tutti positivi e minori di $1$ quindi la successione definita da

$\left( {1 + \frac{1}{{2n}}} \right)^{\script n}$

è strettamente crescente (somma di valori positivi, il numero dei termini aumenta costantemente); inoltre, essendo

$\frac{1}{{2^{\script k}}}\frac{{\left( {1 - \frac{1}{n}} \right)\left( {1 - \frac{2}{n}} \right) \cdots \left( {1 - \frac{{k - 1}}{n}} \right)}}{{k!}} 0$

Adesso scateniamo l'algebra

$\left( {1 + \frac{1}{{2n}}} \right)^{\script n} 0$

Se ne deduce che la serie

$\sum\limits_{\script n = 1}^{\script \infty} {\left( {2^{\script \frac{1}{n}} - 1} \right)}$

è divergente perchè maggiorante di una serie divergente

$\sum \limits_{\script n = 1}^{\script \infty} {\frac {1} {2n}} = \frac {1} {2} \sum \limits_{\script n = 1}^{\script \infty} {\frac{1}{n} = \infty}$

[Admin]

Ottimo panurgo!
Impeccabile!

in pratica hai utilizzato il criterio del confronto.

solo una piccola correzione:

prendiamo il termine $k$-esimo della somma

$\left( {\begin{array}{c}\\ n \\ k \\ \end{array}} \right)\frac{1}{{2^{\script k} n^{\script k}}} = \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right) \cdots \left( {n - k + 1} \right)}}{{k!}}\frac{1}{{2^{\script k} n^{\script k}}}$

e, con le opportune semplificazioni, otteniamo

$\left( {\begin{array}{c} \\ n \\ k \\ \end{array}} \right)\frac{1}{{2^{\script k} n^{\script k}}} = \frac{1}{{2^{\script k}}}\frac{{\left( {1 - \frac{1}{n}} \right)\left( {1 - \frac{2}{n}} \right) \cdots \left( {1 - \frac{{k - 1}}{n}} \right)}}{{k!}}$

mi sembra che nella 2° uguaglianza manchi $n^{k-1}$ al denominatore;
comunque non incide sulla dimostrazione.

Ciao
Admin

[panurgo]

[...] mi sembra che nella 2° uguaglianza manchi $n^{k-1}$ al denominatore [...]

Non ho capito se la tua perplessità si riferisce a questo passaggio

$\left( {\begin{array}{c} \\ n \\ k \\ \end{array}} \right)\frac{1}{{2^{\script k} n^{\script k}}} = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\frac{1}{{2^{\script k} n^{k} }} = \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right) \cdots \left( {n - k + 1} \right)}}{{k!}}\frac{{\left( {n - k} \right)!}}{{\left( {n - k} \right)!}}\frac{1}{{2^{\script k} n^{\script k} }} = \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right) \cdots \left( {n - k + 1} \right)}}{{k!}}\frac{1}{{2^{\script k} n^{\script k} }}$

o a questo

$\left( {\begin{array}{c} \\ n \\ k \\ \end{array}} \right)\frac{1}{{2^{\script k} n^{\script k} }} = \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right) \cdots \left( {n - k + 1} \right)}}{{k!}}\frac{1}{{2^{\script k} n^{\script k} }} = \frac{{\overbrace {\underbrace {\frac{n}{n}\frac{{\left( {n - 1} \right)}}{n}\frac{{\left( {n - 2} \right)}}{n} \cdots \frac{{\left( {n - k + 1} \right)}}{n}}_{n^{\script k} }}^{\script k\,{\rm termini}}}}{{k!}}\frac{1}{{2^{\script k} }} = \frac{1}{{2^{\script k} }}\frac{{\left( {1 - \frac{1}{n}} \right)\left( {1 - \frac{2}{n}} \right) \cdots \left( {1 - \frac{{k - 1}}{n}} \right)}}{{k!}}$

[Admin]

ops...
mi riferivo al secondo passaggio ma distrattamente avevo considerato il prodotto al numeratore come una somma e non avevo pensato che ogni fattore doveva essere diviso per n;

a volte mi vengono queste trovate assurde che non mi so spiegare!

pardon...

Ciao
Admin

[Quelo]

il fatto che il contributo degli ultimi centomila termini prima di diecimiliardi e prma di ventimiliardi siano esattamente uno il doppio dell'altro, è
1-una cosa strana
2-un effetto del grado di precisione dei calcoli
3-una prova dell'esistenza dei marziani
????????????

4-un miracolo?

Non so, io ho scritto un programmino di 4 righe in vb e l'ho fatto girare un paio d'ore. Ecco qualche altro risultato:

1000 su 100000 (100001->101000)

0.00689703324702773 / 2 = 0.003448516623513865

1000 su 200000 (200001->201000)

0.00345709769084279


1000 su 1000000 (1000001->1001000)

0.000692800731602494 / 2 = 0.000346400365801247

1000 su 2000000 (2000001->2001000)

0.000346486949176938


10000 su 1000000 (1000001->1010000)

0.00689704272356417 / 2 = 0.003448521361782085

10000 su 2000000 (2000001->2010000)

0.00345710007174693


10000 su 10000000 (10000001->10010000)

0.000692800827219786 / 2 = 0.000346400413609893

10000 su 20000000 (20000001->20010000)

0.000346486973106019

Curioso come tutte queste somme parziali si assomiglino...

Viva i marziani!

[delfo52]

d'altra parte, questo ripetersi di una quantità "uguale" (?) mi pare corroborare la non convergenza della serie.
Però...sono ben strani questi marziani !

[Quelo]

Ci stavo pensando anch'io, magari viene fuori che la somma di n termini da m a m+n è uguale alla somma di p·n termini da p·m a p(m+n) o una cosa del genere e la serie prenderà il nome di Serie Marziana o Serie Miracolosa di Pietro/Admin