Ho ritrovato una formuletta che ho scritto quando aiutavo mio figlio in trigonometria.
Ho dimenticato come ci sono arrivato e non riesco a ricostruire perché funzione.
Dati due numeri a,b: si ottiene la somma con la seguente procedura
Primo passaggio
calcolare (coseno dell'arcotangente della radice di a/b)^2
La somma di a+b è: b/il suddetto coseno
Qualcuno mi aiuti!
Grazie
Pam[/quote]
dimenticanza
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possiamo scrivere:
$a+b = \frac{b}{\frac{b}{a+b}}$
poniamo $\frac{b}{a+b} = \cos^{\small2}x$; otteniamo:
$a+b = \frac{b}{\cos^{\small2}x}$
vediamo ora quanto deve valere x affinchè si abbia $\frac{b}{a+b} = cos^2x$; calcoliamo x in funzione dell'arcotangente;
sappiamo anzitutto che:
$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$
quindi
$\tan^{\small2} x = \frac{\sin^{\small2} x}{\cos^{\small2} x}=\frac{1-\cos^{\small2} x}{\cos^{\small2} x}$
sostituendo a $\cos^{\small2} x$, $\frac{b}{a+b}$, si ottiene:
$\tan^{\small2} x =\frac{1-\frac{b}{a+b}}{\frac{b}{a+b}}=\frac a b$
da cui
$\tan x = \sqr{\frac a b}\quad\Rightarrow\quad x = \arctan \sqr{\frac a b}$
quindi sostituendo il valore della x si ottiene:
$a+b = \frac{b}{\cos^{\small2}\,\arctan \sqr{\frac a b}}$
Questa uguaglianza però non è valida sempre.
Ciao
Admin
$a+b = \frac{b}{\frac{b}{a+b}}$
poniamo $\frac{b}{a+b} = \cos^{\small2}x$; otteniamo:
$a+b = \frac{b}{\cos^{\small2}x}$
vediamo ora quanto deve valere x affinchè si abbia $\frac{b}{a+b} = cos^2x$; calcoliamo x in funzione dell'arcotangente;
sappiamo anzitutto che:
$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$
quindi
$\tan^{\small2} x = \frac{\sin^{\small2} x}{\cos^{\small2} x}=\frac{1-\cos^{\small2} x}{\cos^{\small2} x}$
sostituendo a $\cos^{\small2} x$, $\frac{b}{a+b}$, si ottiene:
$\tan^{\small2} x =\frac{1-\frac{b}{a+b}}{\frac{b}{a+b}}=\frac a b$
da cui
$\tan x = \sqr{\frac a b}\quad\Rightarrow\quad x = \arctan \sqr{\frac a b}$
quindi sostituendo il valore della x si ottiene:
$a+b = \frac{b}{\cos^{\small2}\,\arctan \sqr{\frac a b}}$
Questa uguaglianza però non è valida sempre.
Ciao
Admin
Pietro Vitelli (Amministratore del Forum)
"Un matematico è una macchina che converte caffè in teoremi" Paul Erdös
www.pvitelli.net
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Nel triangolo ABC retto in B, i due cateti misurano $\text sqrt{a} e sqrt{b}$ e la diagonale è d
Abbiamo:
$\text \tan (x) = \sqrt{\frac{a}{b}}; x = \arctan ({\sqrt{\frac{a}{b}}})$
$\text \cos(x)=\frac{\sqrt{b}}{d}; \cos^2(x)=\frac{b}{d^2}$
Quindi la nostra formula semplificata:
$\text \frac{b}{\cos^2(x)}=\frac{b}{\frac{b}{d^2}}=d^2, ma nel triangolo: d^2=(\sqrt{a})^2+(\sqrt{b})^2=a+b$
La formula di Pam mi sembra sempre valida per a e b positivi.
_________________
$\text { }$ciao
ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
$\text { }$ciao
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Cari Admin e Pasquale,
le vostre argomentazioni sono perfette. Sono contento che il mio piccolo quesito vi abbia interessato.
Piccola chiosa per Admin:
la formula vale sempre quando entrambi i numeri sono interi e maggiori di zero.
Piccola chiosa per Pasquale:
avresti dovuto aggiungere che la formula non funziona con numeri non interi.
La mia formula è sopratutto utile perché permette di eseguire la somma anche se
il tasto + della calcolatrice dovesse guastarsi.
Grazie ancora.
PAM
le vostre argomentazioni sono perfette. Sono contento che il mio piccolo quesito vi abbia interessato.
Piccola chiosa per Admin:
la formula vale sempre quando entrambi i numeri sono interi e maggiori di zero.
Piccola chiosa per Pasquale:
avresti dovuto aggiungere che la formula non funziona con numeri non interi.
La mia formula è sopratutto utile perché permette di eseguire la somma anche se
il tasto + della calcolatrice dovesse guastarsi.
Grazie ancora.
PAM
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Puoi sempre fare $-a-b$ e togliere il segno al risultatopam6203 ha scritto:La mia formula è sopratutto utile perché permette di eseguire la somma anche se
il tasto + della calcolatrice dovesse guastarsi
a questo punto sono curioso: e se anche il tasto meno dovesse guastarsi?
quello di pam è l'unico modo?
Ciao
Admin
Pietro Vitelli (Amministratore del Forum)
"Un matematico è una macchina che converte caffè in teoremi" Paul Erdös
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Caro Administrator,
Non stato abbastanza preciso. I tasti guasti sono il tasto più, il meno, ed il CHS (cambia segno).
Come fare una somma?
Non sono sicuro ma probabilmente ci si può arrivare in diversi modi.
Qualcuno ha qualche suggerimento?
Ringrazio anticipatamente se l’argomento avrà un seguito.
Pam
PS
Sempre nel caso di tasti guasti, solo pochi privilegiati possono a calcolare mentalmente n+1.
Fortunatamente in tale caso nella mia formula si elimina una divisione e cioè si procede così:
Arcotangente della radice di n
Il reciproco del cos quadrato di quanto sopra è n+1.
PS2
Parlando di calcolatrici tascabili, dai primi anni ’80 conservo 2 HP 41C con espansione di memoria, modulo timer, manuale di programmazione sintetica ecc.
Pregevole antiquariato perché con la Notazione Polacca Inversa la Hewlett Packard ha cambiato la storia del calcolo.
Non stato abbastanza preciso. I tasti guasti sono il tasto più, il meno, ed il CHS (cambia segno).
Come fare una somma?
Non sono sicuro ma probabilmente ci si può arrivare in diversi modi.
Qualcuno ha qualche suggerimento?
Ringrazio anticipatamente se l’argomento avrà un seguito.
Pam
PS
Sempre nel caso di tasti guasti, solo pochi privilegiati possono a calcolare mentalmente n+1.
Fortunatamente in tale caso nella mia formula si elimina una divisione e cioè si procede così:
Arcotangente della radice di n
Il reciproco del cos quadrato di quanto sopra è n+1.
PS2
Parlando di calcolatrici tascabili, dai primi anni ’80 conservo 2 HP 41C con espansione di memoria, modulo timer, manuale di programmazione sintetica ecc.
Pregevole antiquariato perché con la Notazione Polacca Inversa la Hewlett Packard ha cambiato la storia del calcolo.
Per Pam:
perché dici che la formula non funziona per numeri non interi? Secondo me funziona sempre, purché i due addendi siano positivi, perché rappresentano dei quadrati.
Nella mia dimostrazione si vede chiaramente che la somma cercata corrisponde al quadrato costruito sull'ipotenusa, che a sua volta corrisponde alla somma dei quadrati costruiti sui cateti, i quali quadrati, corrispondenti ad a e b, possono benissimo avere misure non intere.
Insomma, il teorema di Pitagora funziona sempre e nella formula possiamo invertire a con b, cioè:
$a+b=\frac{a}{\cos^2 \(arctg \sqrt{\frac{b}{a}} \)}$
perché dici che la formula non funziona per numeri non interi? Secondo me funziona sempre, purché i due addendi siano positivi, perché rappresentano dei quadrati.
Nella mia dimostrazione si vede chiaramente che la somma cercata corrisponde al quadrato costruito sull'ipotenusa, che a sua volta corrisponde alla somma dei quadrati costruiti sui cateti, i quali quadrati, corrispondenti ad a e b, possono benissimo avere misure non intere.
Insomma, il teorema di Pitagora funziona sempre e nella formula possiamo invertire a con b, cioè:
$a+b=\frac{a}{\cos^2 \(arctg \sqrt{\frac{b}{a}} \)}$
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$\text { }$ciao ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
$\text { }$ciao
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Per Pasquale
Certamente la formula funziona coi numeri decimali, ma sono stato troppo superficiale.
Avevo resuscitato un arcaico laptop in DOS fermo da anni senza accorgermi di un baco nel qbasic che non accettava decimali.
Ne ho tratto una conclusione errata senza ragionarci sopra, scusami.
Adesso ho riparato il baco e ho rimesso a dormire l’apparecchio.
Ho un’altra formuletta per ottenere quadrati perfetti.
Prevedo l’obiezione: basta moltiplicare un numero per se stesso.
Vero, ma esiste un metodo più scientifico.
Si prendono due numeri qualsiasi a,b.
Da (a+b)^2 si detrae 4ab.
Fatto.
Pam
Certamente la formula funziona coi numeri decimali, ma sono stato troppo superficiale.
Avevo resuscitato un arcaico laptop in DOS fermo da anni senza accorgermi di un baco nel qbasic che non accettava decimali.
Ne ho tratto una conclusione errata senza ragionarci sopra, scusami.
Adesso ho riparato il baco e ho rimesso a dormire l’apparecchio.
Ho un’altra formuletta per ottenere quadrati perfetti.
Prevedo l’obiezione: basta moltiplicare un numero per se stesso.
Vero, ma esiste un metodo più scientifico.
Si prendono due numeri qualsiasi a,b.
Da (a+b)^2 si detrae 4ab.
Fatto.
Pam
...
Ciao, Pam!
(Ho aggiunto "TeX" nella citazione.)
Bruno
Ciao, Pam!
...be', sì: così ne metti insieme duePam6203 ha scritto:(...) Ho un’altra formuletta per ottenere quadrati perfetti.
Prevedo l’obiezione: basta moltiplicare un numero per se stesso.
Vero, ma esiste un metodo più scientifico.
Si prendono due numeri qualsiasi a,b.
Da $\small (a+b)^2$ si detrae $\small 4ab$.
Fatto.
(Ho aggiunto "TeX" nella citazione.)
Bruno
(Bruno)
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
Ciao, Pam!pam6203 ha scritto:(...)Cosa vuol dire "ho aggiunto TEX nella citazione"
Intendevo questo e te lo dico con un esempio.
Tu hai scritto:
(a+b)^2
e io, per meglio visualizzare l'espressione,
l'ho convertita in TeX così:
Codice: Seleziona tutto
[tex](a+b)^2[/tex]"Struttura messaggio") che ti compare quando
appunto scrivi un messaggio.
In questo modo tu non visualizzi la 'scrittura':
(a+b)^2
bensì:
$(a+b)^2.$
Ecco: mi sono permesso di fare questo e
correttamente l'ho segnalato.
(Bruno)
...........................
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