Una diofantina per tutti

[Bruno]

...


Questa è proprio carina e nient'affatto
insormontabile (pur non essendo banale).

Dovremmo trovare le soluzioni intere e non
negative di:

3(x²+y²)+2xy = 251.


Stacco per qualche giorno
Auguro a tutti voi un buon FeRrAgOsTo!


Bruno

[leandro]

Una risoluzione mooolto pedestre.
E' chiaro che x ed y non possono avere la stessa parita'
e quindi,stante la simmetria della relazione rispetto alle due variabili,
suppongo x dispari ed y pari.
Osserviamo ora che si puo' anche scrivere cosi':
$(x+y)^2+2(x^2+y^2)=251$
da cui discende che :
$(x+y)^200<x \leq 9$

Pertanto risulta $0<y<7$
Si hanno quindi questi gruppi di valori possibili:
$x=(1,3,5,7,9),y=(2,4,6)$
Fra di essi solo (7,4) soddisfano la relazione ed in conclusione
le soluzioni sono (7,4) e (4,7)
Leandro

[Pasquale]

Approccio interessante ed originale. Segue quello mio classico.

$3x^2+2yx+3y^2-251=0$

$x=\frac{-y+sqrt{753-8y^2}}{3}$

Affinché il delta non sia negativo, la y può assumere solo valori compresi fra 0 e 9, ma affinché la sua radice sia intera (quella del delta), sono accettabili solo i valori 4 e 7, per i quali risulta anche la x intera e positiva.

CONTRACCAMBIO BUON FERRAGOSTO A TUTTI ed in particolare a Gianfranco e Pietro che si danno tanto da fare.

[Bruno]

B r A v I !


Edit

Riporto qui sotto il mio ragionamento, così come a suo
tempo l'ho scritto, anche se sostanzialmente è lo stesso
mostrato da Leandro (tutt'altro che pedestre!).

Innanzitutto, osservo che nessuna delle due incognite
può essere nulla, altrimenti il primo membro sarebbe
un multiplo di 3, mentre 251 non lo è.
Quindi, effettuo alcuni adattamenti sull'equazione proposta:

251 = 3(x²+y²)+2xy = 2(x²+y²)+(x+y)² = 2(x+y)²+(x-y)²,

utilizzando anche la semplice identità:
2(p²+q²) = (p+q)²+(p-q)².

Necessariamente x+y e x-y sono entrambi dispari.
Inoltre, siccome il più grande quadrato non maggiore di
251 è 225=15², l'intero positivo |x-y| può al massimo
essere uguale a 15.
Metto anche in evidenza che x+y > |x-y| .

Ora constato che 249 è divisibile per 3, per cui 251-249=2
è il resto positivo della divisione di 251 per 3.
Il quadrato di un numero intero non è mai del tipo 3k+2,
dal momento che (3h)² = 3·3h² e (3h±1)² = 3·(3h²±2h)+1,
perciò 2(x+y)² dev'essere del tipo 3k+2 e x-y, pertanto,
dev'essere un multiplo di 3.

I multipli dispari di 3 non maggiori di 15 sono 3, 9 e lo stesso
15.
Tuttavia, senza bisogno di far dei conti, osservo che:
251 > 243=3·81=2·9²+9², e inoltre: 251 < 281=2·10²+9².
Quindi 9 = |x-y| non va bene, ma neppure 15 = |x-y| va bene,
perché naturalmente avrei x+y < |x-y|.
Mi rimane, allora, da considerare 3 = |x-y|.
In effetti, verifico che:

(x+y)² = ½(251-3²) = 121,

ossia:

x+y = 11,

per cui ottengo, finalmente, data la distribuzione simmetrica
delle incognite:

(x, y) = (7,4) oppure (x, y) = (4,7).