Equazione quasi diofantea

[leandro]

Risolvere per valori interi relativi l'equazione:
$x^2-y^2-2z^2=2+xz+3yz$
Spero stiate facendo tutti buonissime vacanze.
Leandro

[Bruno]

...

Leandro $\; \to$ dove hai preso questa roba ?
Sabato e domenica l'ho guardata più volte, lì, sopra il tavolo
della cucina, ma senza capire come afferrarla... (anche perché,
istintivamente, vorrei sempre indovinare l'idea 'svelta', quella
che possa evitarmi di fare troppi calcoli).
Grazie comunque di questa tua bella proposta e ti riporto qui
sotto le due cose che alla fine mi son venute in mente.

Riscrivo l'equazione rispetto a z:

2·z²+(x+3y)·z-(x²-y²-2) = 0

e poi passo a considerarne il discriminante, che deve essere
uguale a un quadrato intero:

$\triangle$ = (x+3y)²+8·(x²-y²-2) = 9x²+6xy+y²-16 = (3x+y)²-16 = p².

Devo avere, allora:

(3x+y+p)·(3x+y-p) = 16 = 8·2 = 4·4

escludendo il caso 1·16 perché entrambi i fattori del primo
membro sono necessariamente pari. Quindi:

3x+y+p = 8
3x+y-p = 2

oppure:

3x+y+p = 4
3x+y-p = 4.

Da queste coppie ottengo, nell'ordine:

$\alpha\;$ 3x+y = 5, p = 3;
$\beta\;$ 3x+y = 4, p =0.

Pertanto, tenendo conto delle relazioni appena viste, trovo:

$\alpha \to\;$z = ¼·[-(x+3y)±3] = ¼·(8x-15±3)

e:

$\beta \to\;$z = -¼·(x+3y) = -¼·(12-8x) .

Poiché z dev'essere intero, avrò in ogni caso:

z = 2x-3 .

Riassumendo, le soluzioni ottenute sono queste:

$\forall$ x $\in Z$, y = 5-3x (oppure: y = 4-3x), z = 2x-3.

(Se&o)


Avendo fatto tutti i passaggi, naturalmente, il testo si è
allungato, ma l'idea seguita è semplice.
Devo dire, tuttavia, che all'inzio avevo cominciato a guardare
le varie incognite rispetto alla parità, alle congruenze e a una
quantità di altre idee gioiose... da cui non riuscivo poi a togliere
i piedi.
A posteriori, la punta di ovvietà di questo procedimento, quel
suo carattere quasi automatico, di routine, fa proprio un bel
contrasto con i gruppi d'ipotesi che si animavano nella mia
testa uno o due giorni fa

Può essere, caro Leandro, che ci sia qualche via più breve,
però io ora scendo qui (Gino Paoli, "Ti lascio una canzone").

A presto!


Bruno

[Pasquale]

Comunque bel procedimento.
Grazie per aver lasciato ad altri lo sfizio di concludere con i risultati:

x=1; y=2; z=-1
x=3; y=-5; z=3

[Bruno]

...

Ho visto solo ora il tuo post, Pasquale

Secondo le mie determinazioni, l'equazione di Leandro ammette
senz'altro infinite soluzioni.
Infatti, con i risultati che ho riportato sopra possiamo stabilire
le seguenti identità, valide anche per ogni x intero e relativo:

x² - (5-3x)² - 2·(2x-3)² = 2 + x·(2x-3) +3·(5-3x)·(2x-3)

oppure:

x² - (4-3x)² - 2·(2x-3)² = 2 + x·(2x-3) + 3·(4-3x)·(2x-3).

Cosa ne dici?
Intanto, ciao


Bruno



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PS - Hai un mio messaggio in MP.

[leandro]

La mia soluzione si avvicina,nelle grandi linee ,a quella di Bruno.
Dapprima scriviamo la relazione cosi':
$x^2-zx-(y^2+2z^2+3yz)=2$
Scomponiamo il 1° membro risolvendo rispetto ad x (come se
fosse una normale equaz. di 2° grado):
$x=\frac{z\pm (2y+3z)}{2}$
Pertanto avremo :
$(x+y+z)(x-y-2z)=2$
Essendo 2=2*1 e poiche'si vuole operare in Z,vi sono solo 4 possibilita':
a)$\{x+y+z=1\\x-y-2z=2$
b)$\{x+y+z=2\\x-y-2z=1$
c)$\{x+y+z=-1\\x-y-2z=-2$
b)$\{x+y+z=-2\\x-y-2z=-1$
Risolvendo i sistemi i.e. rispetto a z si ottengono,laddove
possibile,le infinite soluzioni del quesito.
Per esempio da 1° si ricava:
$\{x=\frac{3+z}{2}\\y=\frac{-1-3z}{2}$
Dovendo essere x ed y interi relativi chiaramente occorre scegliere z dispari:
z=2k+1 e dunque:
$x=k+2,y=-3k-2,z=2k+1$
Al variare di k in Z si hanno tutte le soluzioni del 1° sistema.
karl

[Pasquale]

Bru, che vuoi che ti dica? Quelle erano le relazioni che avevo utilizzato, ma non mi riesce più di riprodurre l'errore che ho fatto. Boh! Comunque rettifico: grazie per avermi lasciato lo sfizio di dire una c...ta.

[Bruno]

...

Grazie ancora, Leandro, e grazie anche a te, Pasquale,
per la tua graditissima apparizione

(Ti ho lasciato un messaggio in MP, Pasquale, riesci ad
aprirlo? A presto...)