Un duello fra area e volume

[Bruno]

...

V è il volume di un cilindro retto e A è la sua superficie totale.
Dobbiamo dimostrare che è sempre:

$\frac {A^3}{V^2} \, \ge \, 54\pi$.

Quando vale l'uguaglianza?

[panurgo]

Il volume del cilindro è

$V = \pi r^{\script 2} h$

La superficie totale del cilindro è

$A = 2\pi r\left( {h + r} \right)$

Ponendo

$h = \gamma r$

si ha

$V = \pi r^{\script 3} \gamma \\ A = 2\pi r^{\script 2} \left( {\gamma + 1} \right)$

e quindi

$f = \frac{{A^{\script 3} }}{{V^{\script 2} }} = 8\pi \frac{{\left( {\gamma + 1} \right)^{\script 3} }}{{\gamma ^{\script 2} }}$

Derivando si ottiene

$f' = 8\pi \frac{{\left( {1 + \gamma } \right)^{\script 2} \left( {\gamma - 2} \right)}}{{\gamma ^{\script 3} }} = 0\quad \Leftrightarrow \quad \gamma = 2\quad \Leftrightarrow \quad h = 2r \\ f \left( 2 \right) = 54\pi$

derivando la seconda volta si ottiene

$f'' = 48\pi \frac{{\gamma + 1}}{{\gamma ^{\script 4} }} > 0\quad \Rightarrow \quad f''\left( 2 \right) = 9 \pi > 0$

cioè la curvatura è positiva e $f \left(2 \right)$ è un minimo. Inoltre

$\lim \limits_{\script \gamma \to 0} f = + \infty$

e

$\lim \limits_{\script \gamma \to + \infty} f = + \infty$

e quindi si tratta di un minimo assoluto.

[Bruno]

...

Bene

E' carina, vero?

Si può anche risolvere ricorrendo alla disuguaglianza
fra media aritmetica e media geometrica.


(Bruno)

[panurgo]

...

Bene

E' carina, vero?

Si può anche risolvere ricorrendo alla disuguaglianza
fra media aritmetica e media geometrica.


(Bruno)

Altro esempio della disuguaglianza di Jensen (vedi https://www.base5forum.it/viewtopic.php? ... 0822e64692)

[Bruno]

Già... proprio così